Введение
Математический метод упрощения, концепция в уравнениях в частных производных.
the concept in partial differential equations
In mathematics, a change of variables is a basic technique used to simplify problems in which the original variables are replaced with functions of other variables. The intent is that when expressed in new variables, the problem may become simpler, or equivalent to a better understood problem. Change of variables is an operation that is related to substitution. However these are different operations, as can be seen when considering differentiation (chain rule) or integration (integration by substitution). A very simple example of a useful variable change can be seen in the problem of finding the roots of the sixth degree polynomial:
Sixth degree polynomial equations are generally impossible to solve in terms of radicals (see Abel–Ruffini theorem). This particular equation, however, may be written
(this is a simple case of a polynomial decomposition). Thus the equation may be simplified by defining a new variable Substituting x by into the polynomial gives
which is just a quadratic equation with the two solutions:
The solutions in terms of the original variable are obtained by substituting x3 back in for u, which gives
Then, assuming that one is interested only in real solutions, the solutions of the original equation are
В математике, замена переменных – это базовый метод, используемый для упрощения задач, в которых исходные переменные заменяются функциями других переменных. Цель состоит в том, чтобы при выражении через новые переменные задача стала проще или эквивалентной более понятной задаче. Замена переменных – это операция, связанная с подстановкой. Однако это разные операции, что видно при рассмотрении дифференцирования (правило цепочки) или интегрирования (интегрирование по замене). Очень простой пример полезной замены можно увидеть в задаче нахождения корней полинома шестой степени:
the concept in partial differential equations
In mathematics, a change of variables is a basic technique used to simplify problems in which the original variables are replaced with functions of other variables. The intent is that when expressed in new variables, the problem may become simpler, or equivalent to a better understood problem. Change of variables is an operation that is related to substitution. However these are different operations, as can be seen when considering differentiation (chain rule) or integration (integration by substitution). A very simple example of a useful variable change can be seen in the problem of finding the roots of the sixth degree polynomial:
Sixth degree polynomial equations are generally impossible to solve in terms of radicals (see Abel–Ruffini theorem). This particular equation, however, may be written
(this is a simple case of a polynomial decomposition). Thus the equation may be simplified by defining a new variable Substituting x by into the polynomial gives
which is just a quadratic equation with the two solutions:
The solutions in terms of the original variable are obtained by substituting x3 back in for u, which gives
Then, assuming that one is interested only in real solutions, the solutions of the original equation are
Уравнения шестой степени, как правило, невозможно решить в радикалах (см. теорему Абеля — Руффини). Однако это конкретное уравнение можно представить в виде (это простой случай разложения полинома). Таким образом, уравнение можно упростить, определив новую переменную. Подстановка x на в полином дает, что является квадратным уравнением с двумя решениями:
the concept in partial differential equations
In mathematics, a change of variables is a basic technique used to simplify problems in which the original variables are replaced with functions of other variables. The intent is that when expressed in new variables, the problem may become simpler, or equivalent to a better understood problem. Change of variables is an operation that is related to substitution. However these are different operations, as can be seen when considering differentiation (chain rule) or integration (integration by substitution). A very simple example of a useful variable change can be seen in the problem of finding the roots of the sixth degree polynomial:
Sixth degree polynomial equations are generally impossible to solve in terms of radicals (see Abel–Ruffini theorem). This particular equation, however, may be written
(this is a simple case of a polynomial decomposition). Thus the equation may be simplified by defining a new variable Substituting x by into the polynomial gives
which is just a quadratic equation with the two solutions:
The solutions in terms of the original variable are obtained by substituting x3 back in for u, which gives
Then, assuming that one is interested only in real solutions, the solutions of the original equation are
Решения в терминах исходной переменной получаются путем замены u обратно на x³, что дает. Затем, предполагая, что нас интересуют только действительные решения, решения исходного уравнения будут:
the concept in partial differential equations
In mathematics, a change of variables is a basic technique used to simplify problems in which the original variables are replaced with functions of other variables. The intent is that when expressed in new variables, the problem may become simpler, or equivalent to a better understood problem. Change of variables is an operation that is related to substitution. However these are different operations, as can be seen when considering differentiation (chain rule) or integration (integration by substitution). A very simple example of a useful variable change can be seen in the problem of finding the roots of the sixth degree polynomial:
Sixth degree polynomial equations are generally impossible to solve in terms of radicals (see Abel–Ruffini theorem). This particular equation, however, may be written
(this is a simple case of a polynomial decomposition). Thus the equation may be simplified by defining a new variable Substituting x by into the polynomial gives
which is just a quadratic equation with the two solutions:
The solutions in terms of the original variable are obtained by substituting x3 back in for u, which gives
Then, assuming that one is interested only in real solutions, the solutions of the original equation are
Официальное введение
Пусть , будут гладкими многообразиями и пусть будет диффеоморфизмом между ними, то есть: является раз непрерывно дифференцируемым, биективным отображением из в с раз непрерывно дифференцируемым обратным отображением из в . Здесь может быть любым натуральным числом (или нулем), (гладким) или (аналитическим). Отображение называется регулярным координатным преобразованием или регулярной заменой переменной, где "регулярный" относится к -гладкости. Обычно записывают для обозначения замены переменной на переменную путем подстановки значения в вместо каждого вхождения .
Интеграция
Сложные интегралы часто можно вычислить, меняя переменные; это становится возможным благодаря правилу подстановки и аналогично использованию правила цепочки, описанному выше. Сложные интегралы также можно решить, упростив интеграл с помощью замены переменных, определяемой соответствующей матрицей Якоби и её определителем. Использование якобиана и соответствующего изменения переменных, которое он обеспечивает, является основой для систем координат, таких как полярная, цилиндрическая и сферическая.
Изменение формулы переменных в терминах меры Лебега
Следующая теорема позволяет нам соотнести интегралы по мере Лебега с эквивалентным интегралом по оттягивающей мере при параметризации G. Доказательство основано на приближениях содержания Джордана. Пусть U — открытое подмножество ℝⁿ, а G — диффеоморфизм. Если f — измеримая по Лебегу функция на U, то f ∘ G измерима по Лебегу на G(U). Если G — отображение из U в V, или G — отображение из V в U, и f измерима по Лебегу, то интеграл от f по G(U) измерим по Лебегу. Как следствие этой теоремы, мы можем вычислить производные Радона — Никодима как оттягивающей, так и прямой меры для G.
Дифференциальные уравнения
Изменения переменных для дифференцирования и интегрирования изучаются в элементарной математической анализе, и соответствующие вычисления редко выполняются полностью. Широкое применение изменений переменных особенно заметно при рассмотрении дифференциальных уравнений, где независимые переменные могут быть заменены с использованием правила цепочки, либо происходит замена зависимых переменных, что требует проведения дифференцирования. Необычные замены, такие как смешение зависимых и независимых переменных в точечных и контактных преобразованиях, могут быть весьма сложными, но предоставляют значительную свободу. Зачастую, общая форма замены подставляется в задачу, а параметры подбираются в процессе решения для наилучшего упрощения.