Введение
Войтех Ярник (22 декабря 1897 – 22 сентября 1970) – чешский математик. Он много лет работал профессором и администратором в Карловом университете и способствовал основанию Чехословацкой академии наук. Его именем назван алгоритм Ярника для построения минимальных остовных деревьев. Ярник работал в области теории чисел, математического анализа и алгоритмов на графах. Его называют «вероятно первым чехословацким математиком, чьи научные работы получили широкий и устойчивый международный отклик». Его старший брат, Гертвик Ярник, также стал профессором лингвистики. Несмотря на это, Ярник не изучал латынь в своей гимназии (C. K. české vyšší reálné gymnasium, Ječná, Прага), поэтому, когда он поступил в Карлов университет в 1915 году, ему пришлось поступить в качестве внештатного студента, пока он не сдал экзамен по латыни три семестра спустя. Сохраняя свою должность в Карловом университете, он учился у Эдмунда Ландау в Геттингенском университете с 1923 по 1925 год и снова с 1927 по 1929 год. По возвращении в Карлов университет после первого визита он защитил габилитацию, а по возвращении со второго визита ему была назначена кафедра математики в качестве экстраординарного профессора. В 1935 году он был повышен до полного профессора, а позже занимал должность декана факультета естественных наук (1947–1948) и проректора (1950–1953). Он вышел на пенсию в 1968 году. Он умер 22 сентября 1970 года в возрасте 72 лет. Другая теорема Ярника в этой области показывает, что для любой замкнутой выпуклой кривой на плоскости с чётко определённой длиной абсолютная разница между площадью, ограниченной этой кривой, и количеством целых точек, лежащих внутри неё, не превышает её длины. Ярник также опубликовал несколько результатов в области диофантовой аппроксимации, изучающей приближение действительных чисел рациональными числами. Он доказал (1928–1929), что плохо приближаемые действительные числа (те, у которых ограничены члены в их непрерывных дробях) имеют размерность Хаусдорфа, равную единице. Это та же размерность, что и у множества всех действительных чисел, что интуитивно указывает на то, что множество плохо приближаемых чисел велико. Он также рассматривал числа x, для которых существует бесконечно много хороших рациональных приближений p/q, при этом для заданного показателя k > 2, и доказал (1929), что они имеют меньшую размерность Хаусдорфа, равную 2/k. Второй из этих результатов был позже повторно открыт Бесиковичем. Бесикович использовал другие методы, чем Ярник, для его доказательства, и результат стал известен как теорема Ярника — Бесиковича.
Vojtěch Jarník (; 22 December 1897 – 22 September 1970) was a Czech mathematician. He worked for many years as a professor and administrator at Charles University, and helped found the Czechoslovak Academy of Sciences. He is the namesake of Jarník's algorithm for minimum spanning trees. Jarník worked in number theory, mathematical analysis, and graph algorithms. He has been called "probably the first Czechoslovak mathematician whose scientific works received wide and lasting international response". and his older brother, Hertvík Jarník, also became a professor of linguistics. Despite this background, Jarník learned no Latin at his gymnasium (the C. K. české vyšší reálné gymnasium, Ječná, Prague), so when he entered Charles University in 1915 he had to do so as an extraordinary student until he could pass a Latin examination three semesters later. While keeping his position at Charles University, he studied with Edmund Landau at the University of Göttingen from 1923 to 1925 and again from 1927 to 1929. On his first return to Charles University he defended his habilitation, and on his return from the second visit, he was given a chair in mathematics as an extraordinary professor. He was promoted to full professor in 1935 and later served as Dean of Sciences (1947–1948) and Vice Rector (1950–1953). He retired in 1968. He died on 22 September 1970, at the age of 72. Another theorem of Jarník in this area shows that, for any closed convex curve in the plane with a well defined length, the absolute difference between the area it encloses and the number of integer points it encloses is at most its length. Jarník also published several results in Diophantine approximation, the study of the approximation of real numbers by rational numbers. He proved (1928–1929) that the badly approximable real numbers (the ones with bounded terms in their continued fractions) have Hausdorff dimension one. This is the same dimension as the set of all real numbers, intuitively suggesting that the set of badly approximable numbers is large. He also considered the numbers x
for which there exist infinitely many good rational approximations p/q, with
for a given exponent k > 2, and proved (1929) that these have the smaller Hausdorff dimension 2/k. The second of these results was later rediscovered by Besicovitch. Besicovitch used different methods than Jarník to prove it, and the result has come to be known as the Jarník–Besicovitch theorem.
Математический анализ
Работа Ярника в области вещественного анализа началась с обнаружения в неопубликованных трудах Бернарда Болцано определения непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Открытие Болцано, сделанное в 1830 году, предшествовало публикации функции Вейерштрасса в 1872 году, которая ранее считалась первым примером функции такого рода. Изучая функцию Болцано, Ярник пришел к более общей теореме: если вещественнозначная функция на замкнутом интервале не имеет ограниченной вариации ни на одном подинтервале, то существует плотное подмножество её области, на котором хотя бы одна из её производных Дини бесконечна. Это в частности применимо к функциям, нигде не дифференцируемым, поскольку они должны иметь неограниченную вариацию на всех интервалах. Позже, узнав о результате Стефана Банаха и Стефана Мазуркевича о том, что типичные функции (то есть функции из остаточного множества) нигде не дифференцируемы, Ярник доказал, что почти во всех точках все четыре производные Дини такой функции бесконечны. Значительная часть его дальнейшей работы в этой области была посвящена обобщению этих результатов на приближённые производные.
Комбинаторная оптимизация
В области информатики и комбинаторной оптимизации Ярник известен алгоритмом построения минимального остовного дерева, который он опубликовал в 1930 году в ответ на публикацию алгоритма Борувки другим чешским математиком Отакаром Борувкой. Алгоритм Ярника строит дерево, начиная с одной начальной вершины заданного взвешенного графа, последовательно добавляя самое дешевое ребро к любой другой вершине, пока все вершины не будут соединены. Тот же алгоритм позднее, в конце 1950-х годов, был независимо открыт Робертом С. Примом и Эдсгером В. Дайкстрой. Он также известен как алгоритм Прима или алгоритм Прима — Дайкстры. Он также опубликовал вторую, связанную с ним, работу с CS (1934) по проблеме евклидова штейнеровского дерева. В этой задаче снова требуется построить дерево, соединяющее заданный набор точек, где стоимость ребер определяется евклидовым расстоянием. Однако для уменьшения общей длины дерева можно добавлять дополнительные точки, не входящие в исходный набор. Эта работа является первым серьезным исследованием общей задачи о штейнеровском дереве (хотя она упоминается ранее в письме Гаусса), и она уже содержит «практически все общие свойства штейнеровских деревьев», которые впоследствии были приписаны другим исследователям.
Признание и наследие
Ярник был членом Чешской академии наук и искусств, с 1934 года – внештатным членом, а с 1946 года – действительным членом. В его честь названа улица Ярникова в районе Ходов в Праге. Серия почтовых марок, выпущенная Чехословакией в 1987 году в ознаменование 125-летия Союза чехословацких математиков и физиков, включала марку с изображением Ярника вместе с Йозефом Петцвалем и Винценцом Стругалем. В марте 1998 года в Праге была проведена конференция, посвященная столетию со дня его рождения. С 2002 года ежегодно на факультете математики и физики Карлова университета в аудитории, названной его именем, читается торжественная Ярниковская лекция.