Комплексные группы Ли и их свойства

Введение

Группа Ли, многообразие которой комплексно, а групповая операция голоморфна.

В геометрии, комплексная группа Ли — это группа Ли над комплексными числами, то есть комплексное аналитическое многообразие, являющееся также группой, причем групповая операция голоморфна. Основные примеры — общие линейные группы над комплексными числами. Связная компактная комплексная группа Ли — это точно комплексный тор (не следует путать с комплексной группой Ли). Любой конечной группе можно придать структуру комплексной группы Ли. Комплексная полупростая группа Ли является линейной алгебраической группой. Алгебра Ли комплексной группы Ли является комплексной алгеброй Ли.

Примеры

Конечномерное векторное пространство над комплексными числами (в частности, комплексная алгебра Ли) является комплексной группой Ли естественным образом. Связная компактная комплексная группа Ли A размерности g имеет вид , комплексного тора, где L – дискретная подгруппа ранга 2g. Действительно, её алгебра Ли может быть показана абелевой, а затем является сюръективным морфизмом комплексных групп Ли, показывающим, что A имеет описанную форму. является примером сюръективного гомоморфизма комплексных групп Ли, не являющимся морфизмом алгебраических групп. Поскольку , это также пример представления комплексной группы Ли, не являющегося алгебраическим. Пусть X – компактное комплексное многообразие. Тогда, аналогично вещественному случаю, является комплексной группой Ли, алгебра Ли которой – пространство голоморфных векторных полей на X. Пусть K – связная компактная группа Ли. Тогда существует единственная связная комплексная группа Ли G такая, что (i) и (ii) K является максимальной компактной подгруппой G. Она называется комплексификацией K. Например, является комплексификацией унитарной группы. Если K действует на компактном кэлеровом многообразии X, то действие K расширяется до действия G.

Линейная алгебраическая группа, связанная с сложной полупростой группой Ли

Пусть G — комплексная полупростая группа Ли. Тогда G допускает естественную структуру линейной алгебраической группы следующим образом: пусть $\mathcal{O}(G)$ — кольцо голоморфных функций на G, таких что $\mathcal{O}(G)$ порождает конечномерное векторное пространство в кольце голоморфных функций на G (здесь G действует посредством левого сдвига: $g \cdot f(x) = f(gx)$). Тогда $\mathcal{O}(G)$ является линейной алгебраической группой, которая, рассматриваемая как комплексное многообразие, совпадает с исходной G. Более конкретно, выберем верное представление $\rho: G \to GL(V)$. Тогда $\text{Graph}(\rho)$ замкнуто по Зарискому в $G \times V$.