Введение
Класс компактных связных топологических пространств
Эта страница посвящена классу топологических групп. Для обмотанной петли из проволоки см. Соленоид. В математике соленоид — это компактное связное топологическое пространство (то есть континуум), которое можно получить как обратный предел обратной системы топологических групп и непрерывных гомоморфизмов, где каждый является окружностью, а fi — отображение, равномерно наматывающее окружность вокруг окружности раз. Эта конструкция может быть геометрически реализована в трехмерном евклидовом пространстве R3. Соленоид — это одномерный однородный неразложимый континуум, обладающий структурой абелевой компактной топологической группы. Соленоиды были впервые введены Vietoris для случая и van Dantzig для случая, где фиксировано. Такой соленоид возникает как одномерный расширяющийся аттрактор, или аттрактор Смале — Уильямса, и является важным примером в теории гиперболических динамических систем.
This page discusses a class of topological groups. For the wrapped loop of wire, see Solenoid. In mathematics, a solenoid is a compact connected topological space (i. e. a continuum) that may be obtained as the inverse limit of an inverse system of topological groups and continuous homomorphisms
where each is a circle and fi is the map that uniformly wraps the circle for times around the circle This construction can be carried out geometrically in the three dimensional Euclidean space R3. A solenoid is a one dimensional homogeneous indecomposable continuum that has the structure of an abelian compact topological group. Solenoids were first introduced by Vietoris for the case, and by van Dantzig the case, where is fixed. Such a solenoid arises as a one dimensional expanding attractor, or Smale–Williams attractor, and forms an important example in the theory of hyperbolic dynamical systems.
Строительство символической динамикой
Смотря на соленоид как на множество, он представляет собой просто канторовский континуум окружностей, соединенных определенным образом. Это наводит на мысль о построении с помощью символической динамики, где мы начинаем с окружности как с "гоночной трассы" и добавляем "одометр" для отслеживания, на какой окружности мы находимся. Определим как соленоид. Далее определим сложение на одометре , аналогично сложению p-адических чисел. Затем определим сложение на соленоиде как. Топология на соленоиде порождается базой, содержащей подмножества , где – любой открытый интервал в , а – множество всех элементов из , начинающихся с начального сегмента .
Патологические свойства
Соленоиды — это компактные метризуемые пространства, которые связны, но не локально связны и не путь-связны. Это проявляется в их патологическом поведении по отношению к различным теориям гомологии, в отличие от стандартных свойств гомологии для симплициальных комплексов. В чешской гомологии можно построить неточную длинную гомологическую последовательность, используя соленоид. В теориях гомологии в стиле Стинрода нулевая группа гомологии соленоида может иметь довольно сложную структуру, несмотря на то, что соленоид является связным пространством.