Введение

Уровень энергии квантовой системы, который соответствует двум или более различным измеримым состояниям В квантовой механике уровень энергии является вырожденным, если он соответствует двум или более различным измеримым состояниям квантовой системы. И наоборот, два или более различных состояния квантовой механической системы называются вырожденными, если они дают одинаковое значение энергии при измерении. Количество различных состояний, соответствующих определенному энергетическому уровню, известно как степень дегенерации (или просто дегенерация) уровня. Он представлен математически гамильтоновым для системы, имеющей более одного линейно независимого собственного состояния с одинаковой энергетической собственной величиной. Когда это так, одной энергии недостаточно, чтобы охарактеризовать состояние системы, и для того, чтобы охарактеризовать точное состояние, когда требуется различие, необходимы другие квантовые числа. В классической механике это можно понять с точки зрения различных возможных траекторий, соответствующих одной и той же энергии. Дегенерация играет фундаментальную роль в квантовой статистической механике. Для трехмерной системы N частиц один энергетический уровень может соответствовать нескольким различным волновым функциям или энергетическим состояниям. Эти вырожденные состояния на одном уровне все имеют одинаковую вероятность заполнения. Количество таких состояний дает вырождение определенного уровня энергии.

Математика

Возможные состояния квантово-механической системы могут рассматриваться математически как абстрактные векторы в разделяемом, сложном пространстве Гильберта, в то время как наблюдаемые могут быть представлены линейными операторами Гермита, действующими на них. Выбирая подходящую основу, можно определить компоненты этих векторов и элементы матрицы операторов в этой основе. Если A - это матрица N × N, X - ненулевой вектор, а λ - скаляр, такой, что , то скаляр λ считается собственным значением A, а вектор X - собственным вектором, соответствующим λ. Вместе с нулевым вектором множество всех собственных векторов, соответствующих данному собственному значению λ, образует подпространство "C'^(n", которое называется собственным пространством λ. Считается, что собственное значение λ, соответствующее двум или более различным линейно независимым собственным векторам, является вырождающимся, т. е. и , где и являются линейно независимыми собственными векторами. Размер собственного пространства, соответствующий этому собственному значению, известен как его степень дегенерации, которая может быть конечной или бесконечной. Считается, что собственное значение не дегенерировано, если его собственное пространство одномерно. Эген-значения матриц, представляющих физические наблюдаемые в квантовой механике, дают измеримые значения этих наблюдаемых, в то время как эген-состояния, соответствующие этим эген-значениям, дают возможные состояния, в которых система может быть найдена при измерении. Измеримые значения энергии квантовой системы даны собственными значениями гамильтоновского оператора, в то время как его собственные состояния дают возможные энергетические состояния системы. О значении энергии говорят, что оно выросло, если с ним связано по меньшей мере два линейно независимых энергетических состояния. Более того, любая линейная комбинация двух или более дегенерированных собственных состояний также является собственным состоянием гамильтоновского оператора, соответствующего той же собственной энергии. Это ясно следует из того факта, что собственное пространство собственного значения энергии λ является подпространством (будучи ядром гамильтонова минус λ раз тождество), следовательно, закрыто при линейных комбинациях.

Влияние вырождения на измерение энергии

При отсутствии дегенерации, если измеренное значение энергии квантовой системы определяется, то соответствующее состояние системы считается известным, поскольку каждому энергетическому собственному значению соответствует только одно собственное состояние. Однако, если гамильтоновский имеет вырожденное собственное значение степени gn, связанные с ним собственные состояния образуют векторное подпространство измерения gn. В таком случае несколько конечных состояний могут быть связаны с одним и тем же результатом , все из которых являются линейными комбинациями ортонормальных собственных векторов gn В этом случае вероятность того, что измеренное значение энергии для системы в состоянии даст значение, дано суммой вероятностей нахождения системы в каждом из состояний в этой основе, т. е.

Различные виды деградации

В данном разделе мы хотим проиллюстрировать существование вырожденных энергетических уровней в квантовых системах, изучаемых в разных измерениях. Изучение одно- и двумерных систем помогает концептуальному пониманию более сложных систем.

Примеры: Кулонский и гармонический потенциалы осциллятора

Для частицы в центральном потенциале 1/r вектор ЛапласаРунгеЛенца является консервативной величиной, возникающей в результате случайной дегенерации, в дополнение к консервации импульса вследствие инвариантности вращения. Для частицы, движущейся по конусу под влиянием потенциалов 1/r и r^{2}, сосредоточенных на кончике конуса, сохраненные величины, соответствующие случайной симметрии, будут двумя компонентами эквивалента вектора Рунге-Ленца, в дополнение к одной компоненте вектора углового момента. Эти величины генерируют симметрию SU(2) для обоих потенциалов.

Пример: частица в постоянном магнитном поле

Частица, движущаяся под влиянием постоянного магнитного поля, подвергающаяся циклотроновому движению на круговой орбите, является еще одним важным примером случайной симметрии. Многократные симметрии в этом случае являются уровнями Ландау, которые бесконечно вырождаются.

Атом водорода

В атомной физике связанные состояния электрона в атоме водорода демонстрируют полезные примеры вырождения. В этом случае гамильтониан коммутирует с полным орбитальным угловым моментом, его компонентой вдоль оси z, полным спиновым угловым моментом и его z-компонентой. Квантовые числа, соответствующие этим операторам, равны , , (всегда 1/2 для электрона) и соответственно. Уровни энергии в атоме водорода зависят только от главного квантового числа n. При заданном n все состояния, соответствующие , имеют одинаковую энергию и являются вырожденными. Аналогично, при заданных значениях n и , состояния с являются вырожденными. Таким образом, степень вырождения энергетического уровня En равна , которая удваивается с учетом спинового вырождения. Вырождение относительно является существенным вырождением, присутствующим для любого центрального потенциала и возникающим из-за отсутствия предпочтительного направления в пространстве. Вырождение относительно часто описывается как случайное вырождение, но его можно объяснить специальными симметриями уравнения Шредингера, которые справедливы только для атома водорода, в котором потенциальная энергия задается законом Кулона.

Физические примеры удаления дегенерации возмущением

Ниже приведены некоторые важные примеры физических ситуаций, в которых вырожденные энергетические уровни квантовой системы разделяются под воздействием внешнего возмущения.