Введение
В математике концепция вязкого решения была введена в начале 1980-х годов Пьером Луи Лионом и Майклом Г. Крандаллом как обобщение классического понимания "решения" для частного дифференциального уравнения (ПДУ). Было установлено, что вязкое решение является естественной концепцией решения для использования во многих приложениях ПДУ, включая, например, уравнения первого порядка, возникающие в динамическом программировании (уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана), дифференциальные игры (уравнение Гамильтона — Якоби — Айзака) или задачи эволюции фронтов, а также уравнения второго порядка, такие как те, что возникают в стохастическом оптимальном управлении или стохастических дифференциальных играх. Классическая концепция заключалась в том, что ПДУ в области имеет решение, если можно найти функцию u(x), непрерывную и дифференцируемую на всей области, такую, что , , , удовлетворяют вышеуказанному уравнению в каждой точке. Если скалярное уравнение является вырожденно эллиптическим (определено ниже), можно определить тип слабого решения, называемого вязким решением. В рамках концепции вязкого решения u не обязательно должно быть дифференцируемым во всех точках. Могут существовать точки, где либо , либо не существует, но при этом u удовлетворяет уравнению в соответствующем обобщенном смысле. Определение допускает лишь определенные типы сингулярностей, обеспечивая существование, единственность и устойчивость при равномерных пределах для широкого класса уравнений.
over a domain has a solution if we can find a function u(x) continuous and differentiable over the entire domain such that , , , satisfy the above equation at every point. If a scalar equation is degenerate elliptic (defined below), one can define a type of weak solution called viscosity solution. Under the viscosity solution concept, u does not need to be everywhere differentiable. There may be points where either or does not exist and yet u satisfies the equation in an appropriate generalized sense. The definition allows only for certain kind of singularities, so that existence, uniqueness, and stability under uniform limits, hold for a large class of equations.
Определение
Существует несколько эквивалентных способов сформулировать определение вязкостных решений. См., например, раздел II.4 книги Флеминга и Сонера или определение с использованием полуструй в руководстве пользователя. Дегенеративно эллиптическое Уравнение в области называется дегенеративно эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц A и B, таких что A положительно определена, и любых значений x, y и z, выполняется неравенство Например, −Δu (где Δ обозначает лапласиан) является дегенеративно эллиптическим, так как в этом случае A = −I, и след A равен сумме его собственных значений. Любое вещественное уравнение первого порядка является дегенеративно эллиптическим. Вязкостное подрешение Верхнеполунепрерывная функция u в области Ω является подрешением вышеуказанного дегенеративно эллиптического уравнения в вязкостном смысле, если для любой точки x ∈ Ω и любой функции φ, такой что u(x) = φ(x) и u(y) ≥ φ(y) в некоторой окрестности точки x, выполняется условие. Вязкостное нагорешение Нижнеполунепрерывная функция u в области Ω является нагорешением вышеуказанного дегенеративно эллиптического уравнения в вязкостном смысле, если для любой точки x ∈ Ω и любой функции φ, такой что u(x) = φ(x) и u(y) ≤ φ(y) в некоторой окрестности точки x, выполняется условие. Вязкостное решение Непрерывная функция u является вязкостным решением ПДУ в области Ω, если она является одновременно нагорешением и подрешением. Следует отметить, что граничное условие в вязкостном смысле здесь не рассматривалось.
Viscosity supersolution A lower semicontinuous function in is defined to be a supersolution of the above degenerate elliptic equation in the viscosity sense if for any point and any function such that and in a neighborhood of , we have
Viscosity solution A continuous function u is a viscosity solution of the PDE in if it is both a supersolution and a subsolution. Note that the boundary condition in the viscosity sense has not been discussed here.
Пример
Рассмотрим краевую задачу , или , на с краевыми условиями Тогда функция является вязкостным решением. Действительно, заметим, что краевые условия выполняются классически, и хорошо определена во внутренней области, за исключением . Таким образом, остается показать, что выполняются условия для вязкостного подрешения и вязкостного надрешения в точке . Пусть — любая функция, дифференцируемая в точке , с и вблизи этой точки. Из этих предположений следует, что для положительного , это неравенство влечет , используя тот факт, что для . С другой стороны, для , имеем, поскольку дифференцируема, левый и правый пределы совпадают и равны , и, следовательно, мы заключаем, что , то есть, таким образом, является вязкостным подрешением. Более того, факт, что является вязкостным надрешением, выполняется тривиально, поскольку не существует функции, дифференцируемой в точке , с и вблизи этой точки. Это означает, что является вязкостным решением. Фактически, можно доказать, что является единственным вязкостным решением для данной задачи. Доказательство единственности требует более точного аргумента.
Обсуждение
Предыдущая краевая задача представляет собой уравнение Эйконала в одном пространственном измерении с , где решение известно как знаковая функция расстояния до границы области. Важно также отметить, что в предыдущем примере знак играет существенную роль. В частности, вязкостное решение уравнения в частных производных (УЧП) с теми же граничными условиями равно . Это можно объяснить тем, что решение является предельным решением задачи о исчезающей вязкости при стремлении к нулю, а является предельным решением задачи о исчезающей вязкости. Легко убедиться, что удовлетворяет УЧП для каждого . Более того, семейство решений сходится к решению при стремлении к нулю (см. рисунок).
Основные свойства
Три основных свойства вязкостных решений – существование, единственность и устойчивость. Единственность решений требует некоторых дополнительных структурных предположений об уравнении. Однако это может быть показано для очень широкого класса вырожденных эллиптических уравнений. Впоследствии определение и свойства вязкостных решений для уравнения Гамильтона — Якоби были уточнены в совместной работе Крандалла, Эванса и Лайонса в 1984 году. В течение нескольких лет исследования в области вязкостных решений были сосредоточены на уравнениях первого порядка, поскольку не было известно, обладают ли уравнения второго порядка эллиптического типа единственным вязкостным решением, за исключением весьма специфических случаев. Прорывным результатом стало появление метода, предложенного Робертом Дженсеном в 1988 году для доказательства принципа сравнения, использующего регуляризованное приближение решения, имеющего вторую производную почти всюду (в современных версиях доказательства этого достигают с помощью сверток с верхней границей и теоремы Александрова). В последующие годы концепция вязкостного решения стала все более распространенной в анализе вырожденных эллиптических уравнений в частных производных. Основываясь на свойствах устойчивости, Барлес и Суганидис получили простое и общее доказательство сходимости конечно-разностных схем. Были получены дополнительные свойства регулярности вязкостных решений, особенно в случае равномерной эллиптичности, благодаря работам Луиса Каффарелли. Вязкостные решения стали центральным понятием в изучении эллиптических уравнений в частных производных. В частности, они необходимы при исследовании бесконечно малого лапласиана. В современном подходе существование решений чаще всего устанавливается методом Перрона. В этом случае вязкость соответствует объемной вязкости ирротационной несжимаемой жидкости. Другими предложенными названиями были решения Крандалла — Лайонса, в честь их первопроходцев, слабые решения, подчеркивающие их свойства устойчивости, или решения сравнения, отражающие их наиболее характерное свойство.