Введение
Пространство-время, моделируемое четырьмя точечными ортонормальными векторными полями.
Рамочное поле в общей теории относительности (также называемое тетрадой или вирбейном) — это набор из четырех точечных ортонормальных векторных полей, одно временное и три пространственно-подобных, определенных на лоренцевом многообразии, которое физически интерпретируется как модель пространства-времени. Временное единичный векторный поле часто обозначается , а три пространственно-подобных единичных векторных поля обозначаются . Все тензорные величины, определенные на многообразии, могут быть выражены с использованием рамочного поля и его двойного корамкового поля. Рамочные поля были введены в общую теорию относительности Альбертом Эйнштейном в 1928 году и Германом Вейлем в 1929 году. Индексная нотация для тетрад объясняется в статье «Тетрада (индексная нотация)».
Физическая интерпретация
Поля рамок лоренцианского многообразия всегда соответствуют семье идеальных наблюдателей, погруженных в данное пространство-время; интегральные кривые единичного векторного поля, направленного во времени, являются мировыми линиями этих наблюдателей, и в каждой точке вдоль данной мировой линии три единичных векторных поля, направленных в пространстве, определяют пространственную триаду, переносимую наблюдателем. Триаду можно рассматривать как определяющую пространственные оси координат локальной лабораторной системы отсчета, которая справедлива вблизи мировой линии наблюдателя. В общем случае, мировые линии этих наблюдателей не обязаны быть временными геодезическими. Если какая-либо из мировых линий отклоняется от геодезического пути в некоторой области, мы можем рассматривать этих наблюдателей как пробные частицы, ускоряющиеся с помощью идеальных ракетных двигателей с тягой, равной величине вектора их ускорения. В качестве альтернативы, если наш наблюдатель прикреплен к частице вещества в шаре жидкости, находящемся в гидростатическом равновесии, эта частица вещества, как правило, будет ускоряться наружу под действием результирующей силы давления, удерживающего шар жидкости против притяжения собственной гравитации. Другие возможности включают наблюдателя, прикрепленного к свободной заряженной пробной частице в электровакуумном решении, которая, конечно, будет ускоряться силой Лоренца, или наблюдателя, прикрепленного к вращающейся пробной частице, которая может быть ускорена силой спин-спина. Важно понимать, что рамки являются геометрическими объектами. То есть, векторные поля имеют смысл (в гладком многообразии) независимо от выбора координатной окрестности, и (в лоренцианском многообразии) также имеют смысл понятия ортогональности и длины. Таким образом, как и векторные поля и другие геометрические величины, поля рамок могут быть представлены в различных координатных окрестностях. Вычисления компонент тензорных величин относительно данного фрейма всегда дают один и тот же результат, независимо от того, какая координатная окрестность используется для представления фрейма. Эти поля необходимы для записи уравнения Дирака в искривленном пространстве-времени.
Сравнение с координатным базисом
У координатных базисных векторов есть особое свойство: их попарные скобки Ли равны нулю. За исключением локально плоских областей, по крайней мере некоторые скобки Ли векторных полей, образующих кадр, не равны нулю. Дополнительные вычисления, необходимые при работе с ними, оправданы, поскольку компоненты тензорных объектов относительно кадра (но не относительно координатного базиса) имеют прямую интерпретацию в терминах измерений, выполненных семейством идеальных наблюдателей, соответствующих данному кадру. Координатные базисные векторы могут быть нулевыми, что, по определению, невозможно для векторов кадра.
Обобщения
В этой статье основное внимание уделяется применению фреймов в общей теории относительности, и в частности их физической интерпретации. Здесь мы очень кратко изложим общую концепцию. В n-мерном римановом или псевдоримановом многообразии, поле фреймов – это набор ортонормальных векторных полей, образующих базис для тангенциального пространства в каждой точке многообразия. Это возможно глобально и непрерывно только в том случае, если многообразие параллелизуемо. Как и ранее, фреймы можно задавать относительно заданной координатной базы, и в не плоской области некоторые из их парных скобок Ли не будут равны нулю. Фактически, для любого внутреннего пространства произведений можно определить новое пространство, состоящее из всех кортежей ортонормальных базисов. Применение этой конструкции к каждому тангенциальному пространству дает ортонормальный расслоение фреймов (псевдо)риманова многообразия, а поле фреймов является сечением этого расслоения. В более общем случае можно рассматривать расслоения фреймов, связанные с любым векторным расслоением или даже произвольными главными волокнистыми расслоениями. Обозначения становятся несколько сложнее, поскольку трудно избежать различия между индексами, относящимися к основанию, и индексами, относящимися к волокну. Многие авторы говорят о внутренних компонентах, когда речь идет о компонентах, индексируемых волокном.