Введение

О решетках и упаковке сфер в евклидовом пространстве

Восемнадцатая проблема Гильберта – одна из 23 проблем Гильберта, сформулированных в знаменитом списке, составленном математиком Давидом Гильбертом в 1900 году. Она состоит из трех отдельных вопросов, касающихся решеток и упаковки сфер в евклидовом пространстве.

Группы симметрии по размерам

Первая часть проблемы спрашивает, существует ли лишь конечное число принципиально различных пространственных групп в n-мерном евклидовом пространстве. На этот вопрос Бибербах дал утвердительный ответ.

Анизоэдрическая черепица в трех измерениях

Вторая часть задачи спрашивает, существует ли многогранник, который замостил бы трехмерное евклидово пространство, но не является фундаментальной областью какой-либо пространственной группы; то есть, который замостил бы пространство, но не допускает изоэдрического (переходного по ячейкам) замощения. Такие замощения теперь известны как анизоэдрические. Задавая вопрос в трех измерениях, Гильберт, вероятно, исходил из предположения, что в двух измерениях такого замощения не существует; это предположение впоследствии оказалось неверным. Первое такое замощение в трех измерениях было найдено Карлом Райнхартом в 1928 году. Первый пример в двух измерениях был найден Хишем в 1935 году. Связанная с этим проблема Эйнштейна ставит вопрос о форме, которая может замостить пространство, но не с помощью бесконечной циклической группы симметрий.

Сфера упаковки

Третья часть проблемы касается наиболее плотной упаковки сфер или других заданных фигур. Хотя в ней прямо рассматриваются фигуры, отличные от сфер, она обычно понимается как эквивалент гипотезе Кеплера. В 1998 году американский математик Томас Каллистер Хейлс представил компьютерно-подтвержденное доказательство гипотезы Кеплера. Оно показывает, что наиболее эффективный способ упаковки сфер – это пирамидальная структура.