Андре Лихнерович: Жизнь и научное творчество

Введение

Французский математический физик (1915–1998)

Андре Лихнерович (21 января 1915, Бурбон-ль-Аршамбо – 11 декабря 1998, Париж) был французским дифференциальным геометром и математическим физиком. Он считается основоположником современной геометрии Пуассона.

Биография

Его дед Ян воевал в польском сопротивлении против пруссов. В 1860 году он был вынужден бежать из Польши и, наконец, поселился во Франции, где женился на женщине из Оверни, Жюстин Фур. Отец Лихнеровича, Жан, имел агрегацию по классической филологии и был секретарем Альянса Франсез, а его мать, потомок бумажных дел мастеров, была одной из первых женщин, получивших агрегацию по математике. Тетя Лихнеровича по отцу, Жанна, была романисткой и переводчицей, известной под псевдонимом Клод Дравайн [fr]. Андре учился в лицее Луи-ле-Гран, а затем в Высшей нормальной школе в Париже, получив агрегацию в 1936 году. Через два года он поступил в Национальный центр научных исследований (CNRS) в качестве одного из первых исследователей, принятых на работу в это учреждение. Лихнерович изучал дифференциальную геометрию под руководством Эли Картана. Его докторская диссертация, завершенная в 1939 году под руководством Жоржа Дармоа, была озаглавлена «Problèmes Globaux en Mécanique Relativiste» (Глобальные проблемы в релятивистской механике). Его академическая карьера началась в условиях нацистской оккупации во время Второй мировой войны. В 1941 году он начал преподавать в Страсбургском университете, который был перемещен в Клермон-Ферран и вернулся в Страсбург только в 1945 году, после окончания войны. В ноябре 1943 года он был арестован во время облавы, но сумел бежать. В 1944 году его пригласили прочитать курс Пекко в Коллеж де Франс. С 1949 по 1952 год он занимал должность в Парижском университете, а в 1952 году был назначен профессором в Коллеж де Франс, где работал до выхода на пенсию в 1986 году. Лихнерович был президентом Французского математического общества в 1959 году. Он был избран членом нескольких национальных и международных академий: Аккадемия деи Линчеи в 1962 году, Академия наук в 1963 году, Королевская академия наук в 1968 году, Королевская академия Бельгии в 1975 году, Папская академия наук в 1981 году и Академия наук Турина [it] в 1984 году. В 1988 году он был удостоен премии Prix de la langue française за то, что продемонстрировал качество и красоту французского языка в своих работах. В 2001 году он посмертно (вместе со своими соавторами Аленом Коннесом и Марко Шуценбергером) получил премию Пеано за свою работу «Треугольник мыслей». В 2008 году была учреждена премия имени Андре Лихнеровича для поощрения прогресса в геометрии Пуассона, области исследований, в которую Лихнерович внес новаторский вклад. Лихнерович был верующим католиком и занимал должность вице-президента Католического центра французских интеллектуалов.

His grandfather Jan fought in the Polish resistance against the Prussians. Forced to flee Poland in 1860, he finally settled in France, where he married a woman from Auvergne, Justine Faure. Lichnerowicz's father, Jean, held agrégation in classics and was secretary of the Alliance française, while his mother, a descendant of paper makers, was one of the first women to earn the agrégation in mathematics. Lichnerowicz's paternal aunt, Jeanne, was a novelist and translator known under the pseudonym Claude Dravaine [fr]. André attended the Lycée Louis le Grand and then the École Normale Supérieure in Paris, gaining agrégation in 1936. After two years, he entered the Centre national de la recherche scientifique (CNRS) as one of the first researchers recruited by this institution. Lichnerowicz studied differential geometry under Élie Cartan. His doctoral dissertation, completed in 1939 under the supervision of Georges Darmois, was entitled "Problemes Globaux en Mécanique Relativiste" (Global problems in relativistic mechanics). His academic career began under the cloud of Nazi occupation, during World War II. In 1941 he started teaching at the University of Strasbourg, which was moved to Clermont Ferrand and only returned to Strasbourg in 1945, after the end of the war. In November 1943 he was arrested during a raid but managed to escape. During 1944 he was invited to give a Cours Peccot at the Collège de France. From 1949 to 1952 he held a position at the University of Paris, and in 1952 he was appointed professor at the Collège de France, where he worked until his retirement in 1986. Lichnerowicz served as president of the Société mathématique de France during 1959. He was elected member of several national and international academies: the Accademia dei Lincei in 1962, the Académie des Sciences in 1963, the Real Academia de Ciencias in 1968, the Académie Royale de Belgique in 1975, the Pontifical Academy of Sciences in 1981, and the Accademia delle Scienze di Torino [it] in 1984. In 1988 he was awarded the Prix de la langue française for having illustrated the quality and the beauty of French language in his works. In 2001 he received posthumous (together with his co authors Alain Connes and Marco Schutzenberger) the Peano Prize for his work Triangle of Thoughts. In 2008 the André Lichnerowicz Prize was created to reward progresses in Poisson geometry, a research field where Lichnerowicz made pioneering contributions. Lichnerowicz was a believing Catholic who served as vice president of the Centre Catholique des Intellectuels Français.

Исследования

В интервью в последние годы жизни Лихнерович сам описал свои исследовательские интересы как «дифференциальную геометрию и глобальный анализ на многообразиях», «связи между математикой и физикой» и «математическое рассмотрение теории гравитации Эйнштейна». Действительно, его работы внесли вклад, в частности, во многие области римановой геометрии, симплектической геометрии и общей теории относительности. Его исследования в области общей теории относительности начались с его диссертации, где он описал необходимые и достаточные условия для метрики гиперболической сигнатуры, чтобы быть глобальным решением уравнений Эйнштейна. В серии статей 1940 года, написанных совместно с Раймоном Маро, он представил математическую формулировку релятивистской кинетической теории. Позже он работал над гравитационным излучением, спинорными полями и пропагаторами в искривлённом пространстве-времени, получив результаты, которые послужили прелюдией к его более поздним работам по квантованию и деформации. Среди его вкладов в риманову геометрию, в 1944 году он сформулировал гипотезу о локально гармонических 4-многообразиях, которая впоследствии была обобщена и теперь известна как гипотеза Лихнеровича. В 1952 году, совместно с Арманом Борелем, он показал, что ограниченная группа голономии риманова многообразия компактна. Он доказал общепринятое эквивалентность различных определений многообразия Кэлера и работал над классификацией компактных однородных пространств Кэлера. В 1958 году он одним из первых установил связь между спектром лапласиана и кривизной метрики. После формализации теории спиноров Картана и Вейля в строгом математическом аппарате, он доказал в 1963 году формулу Лихнеровича, связывающую оператор Дирака и оператор Лапласа — Бельтрами, действующий на спиноры. В 1970-х годах его интересы обратились к симплектической геометрии и динамическим системам, результатом чего стали многочисленные новаторские работы, которые в последующие десятилетия привели к формированию современной геометрии Пуассона. Действительно, начиная с 1974 года, совместно с Моше Флато и Даниелем Стернхаймером, Лихнерович сформулировал первые определения многообразия Пуассона в терминах бивектора — аналога (симплектической) дифференциальной 2-формы. Позже он показал, что ту же философию можно использовать для обобщения контактных структур на многообразия Якоби. В статье 1976 года уже можно найти классическую формулу для скобки Ли-алгеброида на точных 1-формах через скобку Пуассона функций. В 1977 году Лихнерович ввёл оператор, определяющий то, что теперь называется кохомологией Пуассона. Его работы 1978 года, посвящённые деформации алгебры гладких функций на многообразии Пуассона, заложили основу для нового направления исследований — деформационного квантования. Лихнерович опубликовал более 350 статей и руководил 24 диссертациями. В 1982 году Германн опубликовал личную подборку его избранных работ.

In an interview in his last years, Lichnerowicz self described his research interests as "Differential geometry and global analysis on manifolds", "the relations between mathematics and physics" and "the mathematical treatment of Einstein’s theory of gravitation". Indeed, his works contributed, among others, to many areas of Riemannian geometry, symplectic geometry and general relativity. His research in general relativity began with his PhD thesis, where he described necessary and sufficient conditions for a metric of hyperbolic signature to be a global solution of the Einstein field equations. In a series of papers in 1940 with Raymond Marrot, he provided a mathematical formulation of the relativistic kinetic theory. He later worked on gravitational radiation, spinor fields, and propagators on curved space time, obtaining results which preluded his later works on quantisation and deformation. Among his contributions to Riemannian geometry, in 1944 he formulated a conjecture about locally harmonic 4 manifolds, which has been later generalised and is now known as Lichnerowicz conjecture. In 1952 he showed, together with Armand Borel, that the restricted holonomy group of a Riemannian manifold is compact. He proved the now standard equivalence of the various definitions of Kähler manifold and he worked on the classification of compact homogeneous Kähler spaces. In 1958 he was one of the first to introduce a relation between the spectrum of the Laplacian and the curvature of the metric. After formalising Cartan’s and Weyl’s theory of spinors in a rigorous framework, he proved in 1963 the Lichnerowicz formula relating the Dirac operator and the Laplace–Beltrami operator acting on spinors. In the 1970s his interests turned to symplectic geometry and dynamical systems, with many pioneering papers which, in the next decades, would give rise to the modern field of Poisson geometry. Indeed, starting in 1974, together with Moshé Flato and Daniel Sternheimer, Lichnerowicz formulated the first definitions of a Poisson manifold in terms of a bivector, the counterpart of a (symplectic) differential 2 form. He showed later that the same philosophy can be used to generalise contact structures to Jacobi manifolds. In a 1976 paper one can already find the classical formula for the Lie algebroid bracket of on exact 1 forms via the Poisson bracket of functions. In 1977 Lichnerowicz introduced the operator defining what is now called Poisson cohomology. His 1978 papers on the deformation of the algebra of smooth functions on a Poisson manifold established the new research area of deformation quantisation. Lichnerowicz published more than 350 papers and supervised 24 Ph. D. students. In 1982 a personal selection of his own works was published by Hermann.

Педагогика математики

Во время активной исследовательской карьеры Лихнерович проявлял глубокий интерес к математическому образованию и педагогике. С 1963 по 1966 год он был президентом Международной комиссии по математическому образованию Международного математического союза. В 1967 году французское правительство создало комиссию Лихнеровича, состоящую из 18 преподавателей математики. Комиссия рекомендовала учебную программу, основанную на теории множеств и логике, с ранним введением в математические структуры. Она рекомендовала введение комплексных чисел для старшеклассников, сокращение объема вычислений и больший акцент на развитии математических понятий из основных принципов (аксиоматический подход). Эти реформы получили название «Новая математика» и были повторены на международном уровне. Однако реформы вызвали резкую критику со стороны родителей, которым было трудно помогать детям с домашними заданиями, учителей, которые чувствовали себя недостаточно подготовленными и не имели необходимой оснастки, а также ученых из различных областей, которые сочли «Новую математику» попросту неподходящей и непрактичной. Лихнерович подал в отставку, и комиссия была распущена в 1973 году.

Произведения на французском языке

Глобальные проблемы в релятивистской механике, Париж, Hermann, 1939. Элементы тензорного исчисления, Armand Colin 1946, Издания Жака Габэя, 1987. Линейная алгебра и анализ, Париж, Masson, 1947. Релятивистские теории гравитации и электромагнетизма, Париж, Masson, 1954. Глобальная теория связностей и голономических групп, Рим, Cremonese, 1955. Геометрия групп преобразований, Париж, Dunod, 1958. Пропагаторы и коммутаторы в общей теории относительности, Париж, PUF, 1961.

Произведения в английском переводе

Элементы тензорного исчисления, Джон Уайли и сыновья, 1962. Переиздание Dover, 2016. Релятивистская гидродинамика и магнитогидродинамика, В. А. Бенджамин, 1967. Линейная алгебра и анализ, Holden Day, 1967. (Algèbre et analyse linéaires, Париж, Masson, 1947) Геометрия групп преобразований, Лейден: Noordhoff, [1958] 1976. (Géométrie des groupes de transformations, Париж, Dunod, 1958) Глобальная теория связности и групп голономии, Лейден: Noordhoff, [1955] 1976. (Théorie globale des connexions et des groupes d'holonomie, Рим, Edizioni Cremonese, 1955). Магнитогидродинамика: волны и ударные волны в искривлённом пространстве-времени, Kluwer, Springer, 1994. Хаос и детерминизм (с Александром Фавром, Анри Гиттоном и Жаном Гиттоном), Johns Hopkins, 1995. Треугольник мыслей (с Аленом Коннесом и Марко Шуценбергером), Американское математическое общество, 2000.