Введение

В математике алгебраические пространства образуют обобщение схем алгебраической геометрии, введенное Майклом Артином для использования в теории деформаций. Интуитивно, схемы задаются склеиванием аффинных схем с помощью топологии Зариски, а алгебраические пространства – склеиванием аффинных схем с помощью более тонкой этальной топологии. Альтернативно, можно рассматривать схемы как локально изоморфные аффинным схемам в топологии Зариски, а алгебраические пространства – как локально изоморфные аффинным схемам в этальной топологии. Получающаяся категория алгебраических пространств расширяет категорию схем и позволяет осуществлять ряд естественных построений, используемых при создании модульных пространств, но не всегда возможных в более узкой категории схем, например, взятие фактор-пространства по свободному действию конечной группы (см. теорему Кила — Мори).

Определение

Существует два распространенных способа определения алгебраических пространств: их можно определить как факторсхемы по отношению этальной эквивалентности, или как пучки на большом этальном сайте, локально изоморфные схемам. Эти два определения по существу эквивалентны.

Алгебраические пространства и схемы

Алгебраические пространства похожи на схемы, и большая часть теории схем распространяется на алгебраические пространства. Например, большинство свойств морфизмов схем также применимы к алгебраическим пространствам, можно определить когомологии квазикогерентных пучков, они обладают обычными свойствами конечности для собственных морфизмов и так далее. Собственные алгебраические пространства над полем размерности один (кривые) являются схемами. Несингулярные собственные алгебраические пространства размерности два над полем (гладкие поверхности) являются схемами. Квази-разделенные групповые объекты в категории алгебраических пространств над полем являются схемами, хотя существуют и не квази-разделенные групповые объекты, которые не являются схемами. Коммутативные групповые объекты в категории алгебраических пространств над произвольной схемой, которые являются собственными, локально конечно представленными, плоскими и когомологически плоскими в размерности 0, являются схемами. Не каждая сингулярная алгебраическая поверхность является схемой. Пример Хиронаки можно использовать для построения несингулярного собственного алгебраического пространства размерности три, которое не является схемой, заданного как фактор-пространство схемы по свободно действующей группе порядка 2. Это иллюстрирует одно из различий между схемами и алгебраическими пространствами: фактор-пространство алгебраического пространства по свободно действующей дискретной группе является алгебраическим пространством, но фактор-пространство схемы по свободно действующей дискретной группе не обязательно является схемой (даже если группа конечна). Каждое квази-разделенное алгебраическое пространство содержит плотную открытую аффинную подскхему, и дополнение такой подскхемы всегда имеет коразмерность ≥ 1. Таким образом, алгебраические пространства в некотором смысле "близки" к аффинным схемам. Фактор-пространство комплексных чисел по решетке является алгебраическим пространством, но не эллиптической кривой, хотя соответствующее аналитическое пространство является эллиптической кривой (или, точнее, является образом эллиптической кривой под функтором из комплексных алгебраических пространств в аналитические пространства). На самом деле, это алгебраическое фактор-пространство не является схемой, не является полным и даже не является квази-разделенным. Это показывает, что хотя фактор-пространство алгебраического пространства по бесконечной дискретной группе является алгебраическим пространством, оно может обладать странными свойствами и может не быть тем алгебраическим пространством, которое "ожидалось". Подобные примеры даются как фактор-пространство комплексной аффинной прямой по целым числам, или как фактор-пространство комплексной аффинной прямой минус начало координат по степеням некоторого числа: снова соответствующее аналитическое пространство является многообразием, но алгебраическое пространство – нет.

Алгебраические и аналитические пространства

Алгебраические пространства над комплексными числами тесно связаны с аналитическими пространствами и многообразиями Моишезона. Если говорить упрощенно, то различие между комплексными алгебраическими пространствами и аналитическими пространствами заключается в том, что комплексные алгебраические пространства формируются склеиванием аффинных частей с использованием этальной топологии, а аналитические пространства – склеиванием с использованием классической топологии. В частности, существует функтор из комплексных алгебраических пространств конечного типа в аналитические пространства. Многообразия Хопфа приводят примеры аналитических поверхностей, которые не возникают из собственного алгебраического пространства (хотя можно построить несобственные и несепарабельные алгебраические пространства, аналитическим пространством которых является поверхность Хопфа). Различные алгебраические пространства могут соответствовать одному и тому же аналитическому пространству: например, эллиптическая кривая и фактор C по соответствующей решетке не изоморфны как алгебраические пространства, но соответствующие аналитические пространства изоморфны. Артин показал, что собственные алгебраические пространства над комплексными числами в сущности совпадают с пространствами Моишезона.

Обобщение

Дальнейшее обобщение алгебраических пространств дается алгебраическими стеками. В категории стеков можно образовать ещё больше частных по действию группы, чем в категории алгебраических пространств (получающееся частное называется стековым частным).