Введение

В теории групп и геометрии, группа отражения - дискретная группа, которая создается набором отражений конечного измерения Евклидово пространства. Группа симметрии регулярного политопа или плитки евклидовой пространства конгруэнтными копиями регулярного политопа обязательно является отраженной группой. К группам отражения также относятся группы Вейла и кристаллографические группы Коксетера. Хотя ортогональная группа генерируется отражениями (теоремой Картана Диодонне), она является непрерывной группой (на самом деле, группой Ли), а не дискретной группой, и обычно рассматривается отдельно.

Определение

Пусть E является конечным размерным евклидовой пространством. Конечная группа отражения - это подгруппа общей линейной группы E, которая генерируется набором ортогональных отражений через гиперплоски, проходящих через источник. Аффино-отражательная группа - дискретная подгруппа аффино-отражательной группы E, которая генерируется набором аффино-отражательных групп E (без требования, чтобы гиперплоски отражения проходили через источник). Соответствующие понятия могут быть определены в других областях, что приводит к сложным группам отражения и аналогам групп отражения в конечном поле.

Самолет

В двух измерениях конечные группы отражения являются двугранными группами, которые образуются отражением в двух прямых, образующих угол и соответствующих диаграмме Коксетера. Напротив, группы циклических точек в двух измерениях не образуются отражениями и не содержат никаких . Они являются подгруппами индекса 2 двугранной группы. К бесконечным группам отражения относятся группы фризов и группы обоев , , , и Если угол между двумя линиями является иррациональным кратным числа пи, то группа, генерируемая отражениями в этих линиях, бесконечна и недискретна, следовательно, это не является группой отражения.

Пространство

Конечными группами отражения являются точечные группы Cnv, Dnh и группы симметрии пяти платонических твердых тел. Двойные регулярные полиэдры (куб и октаэдр, а также двенадцатигранник и икосаэдр) порождают изоморфные группы симметрии. Классификация конечных групп отражения R3 является примером классификации ADE.

Связь с группами Коксетера

Группа W признает представление особого рода, открытое и изученное Х. С. М. Коксетером. Отражения на поверхностях фиксированной фундаментальной "камеры" являются генераторами ри W порядка 2. Все отношения между ними формально вытекают из отношений, выражающих тот факт, что произведение отражений ri и rj в двух гиперплоскостях Hi и Hj, встречающихся под углом, является вращением под углом, фиксирующим подпространство Hi Hj кодименсионного 2. Таким образом, рассматривая как абстрактную группу, каждая группа отражения является группой Коксетера.

Определенные поля

При работе над конечными полями "отражание" определяется как карта, которая фиксирует гиперплоскость. Геометрически это равносильно включению ножниц в гиперплоскость. Группы отражения на конечных полях характеристики не 2 классифицировались по .

Обобщения

Рассматривались также дискретные изометрические группы более общих римановских многообразий, порождаемые отражениями. Наиболее важный класс возникает из римановских симметричных пространств ранга 1: n сфера Sn, соответствующая конечным группам отражения, евклидово пространство Rn, соответствующее аффинным группам отражения, и гиперболическое пространство Hn, где соответствующие группы называются гиперболическими группами отражения. В двух измерениях треугольные группы включают отраженные группы всех трех видов.