Подсчет ограничений в математике: принцип и применение.
Constraint counting
Подсчет ограничений в математике: сравнение числа ограничений и переменных для определения количества решений. Применение в линейной алгебре и уравнений в частных производных.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике подсчет ограничений — это определение количества ограничений с целью сравнения его с числом переменных, параметров и т. п., которые могут быть свободно определены. Основная идея заключается в том, что в большинстве случаев число независимых выборов, которые можно сделать, равно разности между последним и первым. Например, в линейной алгебре, если число ограничений (независимых уравнений) в системе линейных уравнений равно числу неизвестных, то существует ровно одно решение; если независимых уравнений меньше, чем неизвестных, существует бесконечно много решений; а если число независимых уравнений превышает число неизвестных, решений не существует. В контексте уравнений в частных производных подсчет ограничений — это простой, но часто полезный способ определения числа свободных функций, необходимых для задания решения уравнения в частных производных.
In mathematics, constraint counting is counting the number of constraints in order to compare it with the number of variables, parameters, etc. that are free to be determined, the idea being that in most cases the number of independent choices that can be made is the excess of the latter over the former. For example, in linear algebra if the number of constraints (independent equations) in a system of linear equations equals the number of unknowns then precisely one solution exists; if there are fewer independent equations than unknowns, an infinite number of solutions exist; and if the number of independent equations exceeds the number of unknowns, then no solutions exist. In the context of partial differential equations, constraint counting is a crude but often useful way of counting the number of free functions needed to specify a solution to a partial differential equation.
Квазилинейные уравнения
В случае нелинейного уравнения, получить общее решение в замкнутой форме удается лишь изредка. Однако, если уравнение квазилинейное (линейное по старшим производным), то мы все еще можем получить приближенную информацию, аналогичную описанной выше: задание одного элемента пространства решений будет, с точностью до нелинейных поправок, эквивалентно заданию определенного числа функций от меньшего числа переменных. Число этих функций и есть сила Эйнштейна для данного уравнения в частных производных. В приведенном выше простом примере эта сила равна двум, хотя в данном случае нам удалось получить более точную информацию.
In the case of a nonlinear equation, it will only rarely be possible to obtain the general solution in closed form. However, if the equation is quasilinear (linear in the highest order derivatives), then we can still obtain approximate information similar to the above: specifying a member of the solution space will be "modulo nonlinear quibbles" equivalent to specifying a certain number of functions in a smaller number of variables. The number of these functions is the Einstein strength of the p. d. e. In the simple example above, the strength is two, although in this case we were able to obtain more precise information.