Введение
Многообразие, моделируемое на пространствах Гильберта. В математике, гильбертово многообразие — это многообразие, моделируемое на пространствах Гильберта. Таким образом, это сепарабельное пространство Хаусдорфа, в котором для каждой точки существует окрестность, гомеоморфная бесконечномерному пространству Гильберта. Концепция гильбертова многообразия предоставляет возможность расширения теории многообразий на бесконечномерный случай. Аналогично конечномерной ситуации, можно определить дифференцируемое гильбертово многообразие, рассматривая максимальный атлас, в котором карты перехода дифференцируемы.
In mathematics, a Hilbert manifold is a manifold modeled on Hilbert spaces. Thus it is a separable Hausdorff space in which each point has a neighbourhood homeomorphic to an infinite dimensional Hilbert space. The concept of a Hilbert manifold provides a possibility of extending the theory of manifolds to infinite dimensional setting. Analogous to the finite dimensional situation, one can define a differentiable Hilbert manifold by considering a maximal atlas in which the transition maps are differentiable.
Свойства
Многие основные конструкции теории многообразий, такие как тангенциальное пространство многообразия и трубчатая окрестность подмногообразия (конечной коразмерности), легко переносятся из конечномерного случая в гильбертово пространство с незначительными изменениями. Однако, в утверждениях, касающихся отображений между многообразиями, часто приходится ограничиваться рассмотрением фредгольмовых отображений, то есть отображений, чей дифференциал в каждой точке является фредгольмовым. Это связано с тем, что лемма Сарда справедлива для фредгольмовых отображений, но не в общем случае. Несмотря на это различие, гильбертовы многообразия обладают рядом очень хороших свойств. Теорема Куйпера: Если X – компактное топологическое пространство или имеет гомотопический тип CW-комплекса, то каждый (действительный или комплексный) расслоение гильбертова пространства над X тривиален. В частности, каждое гильбертово многообразие параллелизуемо. Каждое гладкое гильбертово многообразие может быть гладко вложено в открытое подмножество модельного гильбертова пространства. Каждая гомотопическая эквивалентность между двумя гильбертовыми многообразиями гомотопична диффеоморфизму. В частности, любые два гильбертовых многообразия, гомотопически эквивалентные, уже диффеоморфны. Это контрастирует с линзовыми пространствами и экзотическими сферами, которые показывают, что в конечномерном случае гомотопическая эквивалентность, гомеоморфизм и диффеоморфизм многообразий являются различными свойствами. Хотя теорема Сарда не выполняется в общем случае, любое непрерывное отображение из гильбертова многообразия можно сколь угодно близко аппроксимировать гладким отображением, не имеющим критических точек.