Введение
Многообразие, моделируемое на пространствах Банаха. В математике, банахово многообразие — это многообразие, моделируемое на пространствах Банаха. Таким образом, это топологическое пространство, в котором для каждой точки существует окрестность, гомеоморфная открытому множеству в пространстве Банаха (более подробное и формальное определение приведено ниже). Банаховы многообразия представляют собой один из способов расширения понятия многообразия на бесконечномерные пространства. Дальнейшим обобщением являются фрешетовы многообразия, в которых пространства Банаха заменяются фрешетовыми пространствами. С другой стороны, гильбертово многообразие является частным случаем банахова многообразия, в котором многообразие локально моделируется гильбертовыми пространствами.
In mathematics, a Banach manifold is a manifold modeled on Banach spaces. Thus it is a topological space in which each point has a neighbourhood homeomorphic to an open set in a Banach space (a more involved and formal definition is given below). Banach manifolds are one possibility of extending manifolds to infinite dimensions. A further generalisation is to Fréchet manifolds, replacing Banach spaces by Fréchet spaces. On the other hand, a Hilbert manifold is a special case of a Banach manifold in which the manifold is locally modeled on Hilbert spaces.
Примеры
Каждое пространство Банаха может быть канонически отождествлено с многообразием Банаха. Если X – пространство Банаха, то X является многообразием Банаха с атласом, содержащим единственную глобально определенную карту (отображение тождества). Аналогично, если U – открытое подмножество некоторого пространства Банаха, то U является многообразием Банаха. (См. теорему о классификации ниже.)
Классификация до гомеоморфизма
Это совершенно неверно, что конечномерное многообразие размерности *n* глобально гомеоморфно ℝⁿ или даже открытому подмножеству ℝⁿ. Однако в бесконечномерном случае возможно классифицировать "хорошо себя ведущие" банаховы многообразия с точностью до гомеоморфизма. Теорема Дэвида Хендерсона 1969 года утверждает, что каждое бесконечномерное, сепарабельное, метрическое банахово многообразие можно вложить как открытое подмножество бесконечномерного, сепарабельного гильбертова пространства (с точностью до линейного изоморфизма существует только одно такое пространство, обычно отождествляемое с ℓ₂). Фактически, результат Хендерсона сильнее: то же заключение справедливо для любого метрического многообразия, моделируемого на сепарабельном бесконечномерном пространстве Фреше. Встраивающий гомеоморфизм можно использовать в качестве глобальной карты для этого многообразия. Таким образом, в бесконечномерном, сепарабельном, метрическом случае "единственными" банаховыми многообразиями являются открытые подмножества гильбертова пространства.