Введение
Система математической теории множеств
В основаниях математики, теория множеств Морса — Келли (MK), теория множеств Келли — Морса (KM), теория множеств Морса — Тарского (MT), теория множеств Куайна — Морса (QM) или система Куайна и Морса является аксиоматической теорией множеств первого порядка, тесно связанной с теорией множеств фон Неймана — Бернейса — Гёделя (NBG). В то время как теория множеств фон Неймана — Бернейса — Гёделя ограничивает связанные переменные в схематической формуле, возникающей в аксиоматической схеме выделения классов, областью только множеств, теория множеств Морса — Келли позволяет этим связанным переменным охватывать как собственные классы, так и множества, что было впервые предложено Куайном в 1940 году для его системы ML. Теория множеств Морса — Келли названа в честь математиков Джона Л. Келли и Энтони Морса и была впервые представлена, а затем в приложении к учебнику Келли «Общая топология» (1955) — введению в топологию на уровне магистратуры. Келли утверждал, что система в его книге является вариантом систем, разработанных Торальфом Сколемом и Морсом. Собственная версия Морса появилась позже в его книге «Теория множеств» (1965). В то время как теория множеств фон Неймана — Бернейса — Гёделя является консервативным расширением теории множеств Цермело — Френкеля (ZFC, каноническая теория множеств) в том смысле, что утверждение на языке ZFC доказуемо в NBG тогда и только тогда, когда оно доказуемо в ZFC, теория множеств Морса — Келли является собственным расширением ZFC. В отличие от теории множеств фон Неймана — Бернейса — Гёделя, где аксиоматическая схема выделения классов может быть заменена конечным числом её экземпляров, теория множеств Морса — Келли не может быть конечно аксиоматизирована.
In the foundations of mathematics, Morse–Kelley set theory (MK), Kelley–Morse set theory (KM), Morse–Tarski set theory (MT), Quine–Morse set theory (QM) or the system of Quine and Morse is a first order axiomatic set theory that is closely related to von Neumann–Bernays–Gödel set theory (NBG). While von Neumann–Bernays–Gödel set theory restricts the bound variables in the schematic formula appearing in the axiom schema of Class Comprehension to range over sets alone, Morse–Kelley set theory allows these bound variables to range over proper classes as well as sets, as first suggested by Quine in 1940 for his system ML. Morse–Kelley set theory is named after mathematicians John L. Kelley and Anthony Morse and was first set out by and later in an appendix to Kelley's textbook General Topology (1955), a graduate level introduction to topology. Kelley said the system in his book was a variant of the systems due to Thoralf Skolem and Morse. Morse's own version appeared later in his book A Theory of Sets (1965). While von Neumann–Bernays–Gödel set theory is a conservative extension of Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC, the canonical set theory) in the sense that a statement in the language of ZFC is provable in NBG if and only if it is provable in ZFC, Morse–Kelley set theory is a proper extension of ZFC. Unlike von Neumann–Bernays–Gödel set theory, where the axiom schema of Class Comprehension can be replaced with finitely many of its instances, Morse–Kelley set theory cannot be finitely axiomatized.
Обсуждение
Монк (1980) и Рубин (1967) – это учебники по теории множеств, построенные на основе МК; онтология Рубина включает урэлементы. Эти авторы и Мендельсон (1997: 287) утверждают, что МК выполняет задачи, ожидаемые от теории множеств, будучи менее громоздкой, чем ZFC и NBG. МК строго сильнее ZFC и его консервативного расширения NBG – другой известной теории множеств с собственными классами. Фактически, непротиворечивость NBG, а следовательно, и ZFC, может быть доказана в МК. Сила МК обусловлена тем, что его аксиоматическая схема понимания классов является импредикативной, то есть φ(x) может содержать квантифицированные переменные, область значений которых – классы. Квантифицированные переменные в аксиоматической схеме понимания классов NBG ограничены множествами; следовательно, понимание классов в NBG должно быть предикативным. (Разделение по множествам в NBG все еще импредикативно, поскольку кванторы в φ(x) могут варьироваться по всем множествам.) Аксиоматическую схему понимания классов NBG можно заменить конечным числом ее экземпляров; это невозможно в МК. МК непротиворечива относительно ZFC, дополненной аксиомой, утверждающей существование сильно недоступных кардиналов. Единственное преимущество аксиомы ограничения размера состоит в том, что она влечет аксиому глобального выбора. Аксиома ограничения размера не встречается у Рубина (1967), Монка (1980) или Мендельсона (1997). Вместо этого эти авторы используют обычную форму локальной аксиомы выбора и "аксиому замены", утверждающую, что если область определения классной функции является множеством, то и ее область значений также является множеством. Аксиома замены может доказать все, что доказывает аксиома ограничения размера, за исключением доказательства некоторой формы аксиомы выбора. Аксиома ограничения размера в сочетании с тем, что I является множеством (следовательно, Вселенная не пуста), делает доказуемым множественность пустого множества; поэтому аксиома пустого множества не нужна. Конечно, такую аксиому можно добавить, и незначительные изменения вышеуказанных аксиом могут потребовать этого добавления. Множество I не отождествляется с предельным ординалом, поскольку I может быть множеством, большим чем . В этом случае существование следовало бы из любой формы аксиомы ограничения размера. Класс ординалов фон Неймана может быть хорошо упорядочен. Он не может быть множеством (из-за угрозы парадокса); следовательно, этот класс является собственным классом, и все собственные классы имеют тот же размер, что и V. Следовательно, V также может быть хорошо упорядочен. МК можно спутать со ZFC второго порядка, ZFC с логикой второго порядка (представляющей объекты второго порядка в языке множеств, а не в предикатном языке) в качестве базовой логики. Язык ZFC второго порядка похож на язык МК (хотя множество и класс с одинаковым расширением больше не могут быть отождествлены), а их синтаксические ресурсы для практических доказательств почти идентичны (и идентичны, если МК включает сильную форму аксиомы ограничения размера). Но семантика ZFC второго порядка существенно отличается от семантики МК. Например, если МК непротиворечива, то у нее есть счетная модель первого порядка, в то время как ZFC второго порядка не имеет счетных моделей.
История
МК был впервые представлен и популяризирован в приложении к "Общей топологии" Дж. Л. Келли (1955), с использованием аксиом, приведенных в следующем разделе. Система, изложенная Энтони Морзом в "Теории множеств" (1965), эквивалентна системе Келли, но сформулирована на специфическом формальном языке, а не, как здесь, в стандартной логике первого порядка. Первой теорией множеств, включавшей импредикативное выделение классов, была ML Куайна, построенная на "Новых Основаниях", а не на ZFC. Идея импредикативного выделения классов также была предложена Мостовским (1951) и Льюисом (1991).