Инварианты кривизны в общей теории относительности: возможности и ограничения
Curvature invariant (general relativity)
Инварианты кривизны в общей теории относительности: тензоры Римана, Вейля, Риччи и их применение для классификации пространств-времени. Ограничения в применении.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В общей теории относительности инварианты кривизны — это набор скаляров, формируемых из тензоров Римана, Вейля и Риччи, которые отражают кривизну пространства, что и отражено в названии, а также, возможно, посредством операций над ними, таких как свёртка, ковариантная производная и дуализация. Определенные инварианты, построенные из этих тензоров кривизны, играют важную роль в классификации пространств-времен. На практике инварианты оказываются менее эффективными для различения локально неизометрических лоренцевых многообразий, чем для различения римановых многообразий. Это означает, что их применимость ограничена по сравнению с многообразиями, снабжёнными положительно определенным метрическим тензором.
In general relativity, curvature invariants are a set of scalars formed from the Riemann, Weyl and Ricci tensors — which represent curvature, hence the name — and possibly operations on them such as contraction, covariant differentiation and dualisation. Certain invariants formed from these curvature tensors play an important role in classifying spacetimes. Invariants are actually less powerful for distinguishing locally non isometric Lorentzian manifolds than they are for distinguishing Riemannian manifolds. This means that they are more limited in their applications than for manifolds endowed with a positive definite metric tensor.
Различие лоренцианских многообразий
Важный вопрос, связанный с инвариантами кривизны, состоит в том, когда множество полиномиальных инвариантов кривизны можно использовать для (локального) различения многообразий. Для этого необходимо включать инварианты более высокого порядка, в том числе производные тензора Римана, но в лоренцевом случае известно, что существуют пространства-времена, которые нельзя различить; например, пространства-времена VSI, для которых все такие инварианты кривизны обращаются в ноль и, следовательно, не могут быть отличены от плоского пространства. Эта неспособность различать лоренцевы многообразия связана с тем, что группа Лоренца некомпактна. Тем не менее, существуют примеры, когда лоренцевы многообразия можно различить, используя их инварианты. Примерами являются полностью общие пространства-времена Петрова типа I без векторов Киллинга, см. Coley et al. ниже. Фактически, было установлено, что пространства-времена, которые не могут быть различимы по их набору инвариантов кривизны, все являются пространствами Кунда.
An important question related to Curvature invariants is when the set of polynomial curvature invariants can be used to (locally) distinguish manifolds. To be able to do this is necessary to include higher order invariants including derivatives of the Riemann tensor but in the Lorentzian case, it is known that there are spacetimes which cannot be distinguished; e. g., the VSI spacetimes for which all such curvature invariants vanish and thus cannot be distinguished from flat space. This failure of being able to distinguishing Lorentzian manifolds is related to the fact that the Lorentz group is non compact. There are still examples of cases when we can distinguish Lorentzian manifolds using their invariants. Examples of such are fully general Petrov type I spacetimes with no Killing vectors, see Coley et al. below. Indeed, it was here found that the spacetimes failing to be distinguished by their set of curvature invariants are all Kundt spacetimes.