Введение
Элемент внешней алгебры В многолинейной алгебре, многовектор, иногда называемый числом Клиффорда или мультором, является элементом внешней алгебры Λ ((V) векторного пространства V. Эта алгебра является градационной, ассоциативной и чередующейся и состоит из линейных комбинаций простых k векторов или k лезвия) формы где в V. Вектор k - это такая линейная комбинация, которая является однородной степени k (все термины являются k лезвиями для того же k). В зависимости от авторов, "мультивектор" может быть либо k вектором, либо любым элементом внешней алгебры (любая линейная комбинация k лезвиев с потенциально различными значениями k). В дифференциальной геометрии k вектор - вектор во внешней алгебре тангентного векторного пространства; то есть, это антисимметричный тензор, полученный путем получения линейных комбинаций внешнего произведения k тангентных векторов, для некоторого целого k ≥ 0. Дифференциальная k-форма - это k-вектор в внешней алгебре дуалов тангентного пространства, который также является дуалом внешней алгебры тангентного пространства. Для 1=k = 0, 1, 2 и 3 k векторов часто называют соответственно скалярами, векторами, бивекторами и тривекторами; они соответственно дуальны для 0 форм, 1 форм, 2 форм и 3 форм.
In multilinear algebra, a multivector, sometimes called Clifford number or multor, is an element of the exterior algebra Λ(V) of a vector space V. This algebra is graded, associative and alternating, and consists of linear combinations of simple k vectors or k blades) of the form
where are in V.
A k vector is such a linear combination that is homogeneous of degree k (all terms are k blades for the same k). Depending on the authors, a "multivector" may be either a k vector or any element of the exterior algebra (any linear combination of k blades with potentially differing values of k). In differential geometry, a k vector is a vector in the exterior algebra of the tangent vector space; that is, it is an antisymmetric tensor obtained by taking linear combinations of the exterior product of k tangent vectors, for some integer k ≥ 0. A differential k form is a k vector in the exterior algebra of the dual of the tangent space, which is also the dual of the exterior algebra of the tangent space. For 1=k = 0, 1, 2 and 3, k vectors are often called respectively scalars, vectors, bivectors and trivectors; they are respectively dual to 0 forms, 1 forms, 2 forms and 3 forms.
Площадь и объем
Вектор k, полученный из внешнего произведения k отдельных векторов в n-мерном пространстве, имеет компоненты, которые определяют спроецированные (k − 1) объемы k параллелотопа, охваченного векторами. Корень квадратный суммы квадратов этих компонентов определяет объем k параллелотопа. Следующие примеры показывают, что бивектор в двух измерениях измеряет площадь параллелограмма, а величина бивектора в трех измерениях также измеряет площадь параллелограмма. Аналогичным образом, три вектора в трех измерениях измеряют объем параллелепипеда. Легко проверить, что величина трехвектора в четырех измерениях измеряет объем параллелепипеда, протяженный этими векторами.
Координаты Грасмана
В этом разделе мы рассматриваем мультивекторы на проективном пространстве Pn, которые обеспечивают удобный набор координат для линий, плоскостей и гиперплоскостей, которые имеют свойства, аналогичные однородным координатам точек, называемым координатами Грасмана. Точки в реальном проективном пространстве Pn определяются как линии через начало векторного пространства Rn+1. Например, проективная плоскость P2 - это множество прямых, проходящих через начало R3. Таким образом, мультивекторы, определенные на Rn+1, можно рассматривать как мультивекторы на Pn. Удобный способ рассмотрения мультивектора на Pn - это изучить его в аффинной компоненте Pn, которая является пересечением линий через начало Rn+1 с выбранной гиперплоскостью, такой как 1=H: xn+1 = 1. Линии через начало R3 пересекают плоскость 1=E: z = 1 для определения аффинной версии проективной плоскости, которой не хватает только точек, для которых 1=z = 0, называемых точками в бесконечности.
Приложения
Бивекторы играют много важных ролей в физике, например, в классификации электромагнитных полей.