Введение

На линиях, соединяющих центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника.

В геометрии теорема Наполеона утверждает, что если на сторонах любого треугольника построить равносторонние треугольники, все либо наружу, либо внутрь, то линии, соединяющие центры этих равносторонних треугольников, сами образуют равносторонний треугольник. Треугольник, образованный таким образом, называется внутренним или внешним треугольником Наполеона. Разность площадей внешнего и внутреннего треугольников Наполеона равна площади исходного треугольника. Теорему часто приписывают Наполеону Бонапарту (1769–1821). Некоторые предполагают, что она может восходить к вопросу, предложенному У. Резерфордом и опубликованному в журнале "The Ladies' Diary" в 1825 году, спустя четыре года после смерти французского императора. Однако этот результат был рассмотрен в трех вопросах, включенных в экзамен на получение золотой медали в Дублинском университете в октябре 1820 года, в то время как Наполеон умер в мае следующего года.

Общий центр

Центр как внутреннего, так и внешнего треугольников Наполеона совпадает с центроидом исходного треугольника. Это совпадение было отмечено в Энциклопедии Чемберса в 1867 году, как указано выше. Автор этой статьи не указан. П. Г. Тейт, в то время профессор естественной философии в Эдинбургском университете, числится среди авторов, но Дж. У. Хиллхаус, преподаватель математики также в Эдинбургском университете, упоминается среди других литераторов, в течение более или менее длительного времени сотрудничавших с постоянным штатом Энциклопедии. Однако в разделе 189(e) «Элементарного трактата о кватернионах», также опубликованного в 1867 году, Тейт рассматривает эту задачу (фактически, перефразируя замечания Дэвиса в «Дневнике джентльмена» за 1831 год относительно вопроса 1265, но теперь в контексте кватернионов): Если из середины каждой стороны треугольника построить перпендикуляр наружу, пропорциональный соответствующей стороне, то средняя точка концов этих перпендикуляров совпадёт с центроидом исходного треугольника. Определите отношение длины каждого перпендикуляра к половине соответствующей стороны исходного треугольника, при котором новый треугольник будет равносторонним. Тейт заключает, что средние точки равносторонних треугольников, построенных наружу на сторонах любого треугольника, образуют равносторонний треугольник. Это обсуждение сохранено в последующих изданиях 1873 и 1890 годов, а также в его более позднем «Введении в кватернионы», написанном совместно с Филиппом Келландом в 1873 году.

Теорема Петра Дугласа Неймана

Если на сторонах произвольного n-угольника A0 возводятся равнобедренные треугольники с углами при вершине \tfrac{2k\pi}{n}, и если этот процесс повторяется с n-угольником, образованным свободными вершинами треугольников, но с другим значением k, и так далее, пока не будут использованы все значения 1 ≤ k ≤ n − 2 (в произвольном порядке), то образуется правильный n-угольник An−2, центр которого совпадает с центром A0.

Теорема Наполеона-Барлотти

Центры правильных n-угольников, построенных на сторонах n-угольника P, образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда P является аффинным образом правильного n-угольника.

Обобщение Джа-Саварана

Рассмотрим шестиугольник A1A2A3A4A5A6, на сторонах которого построены равносторонние треугольники, как внутрь, так и наружу. Обозначим вершины этих равносторонних треугольников Bi. Если G1, G3, G5 – центроиды треугольников △B6B1B2, △B2B3B4, △B4B5B6 соответственно, то G1, G3, G5 образуют равносторонний треугольник.

Обобщение Дао Тан Оай

При заданном шестиугольнике ABCDEF, на сторонах AB, CD и EF построены равносторонние треугольники ABG, DHC и IEF, либо внутрь, либо наружу. Пусть A1, B1, C1 – центроиды треугольников FGC, BHE и DIA соответственно, а A2, B2, C2 – центроиды треугольников DGE, AHF и BIC соответственно. Тогда треугольники A1B1C1 и A2B2C2 являются равносторонними. (Если, например, точки A и F, B и C, а также D и E совпадают, то результат, полученный Дао Тан Оай, сводится к теореме Наполеона).