Введение
Число, используемое в алгебраической геометрии
В математике степень аффинного или проективного многообразия размерности n — это число точек пересечения многообразия с n гиперплоскостями в общем положении. Для алгебраического множества точки пересечения должны быть подсчитаны с учётом их кратности пересечения из-за возможности наличия нескольких компонент. Для (неприводимых) многообразий, если учитывать кратности и, в аффинном случае, точки на бесконечности, гипотезу общего положения можно заменить гораздо более слабым условием, что пересечение многообразия имеет размерность нуль (то есть состоит из конечного числа точек). Это обобщение теоремы Безу (для доказательства см.). Степень не является внутренним свойством многообразия, поскольку она зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное или проективное пространство. Степень гиперповерхности равна полной степени её определяющего уравнения. Обобщение теоремы Безу утверждает, что если пересечение n проективных гиперповерхностей имеет коразмерность n, то степень пересечения равна произведению степеней гиперповерхностей. Степень проективного многообразия — это значение числителя ряда Гильберта его координатного кольца при значении 1. Следовательно, зная уравнения многообразия, степень можно вычислить на основе базиса Грёбнера идеала этих уравнений.
with n hyperplanes in general position. For an algebraic set, the intersection points must be counted with their intersection multiplicity, because of the possibility of multiple components. For (irreducible) varieties, if one takes into account the multiplicities and, in the affine case, the points at infinity, the hypothesis of general position may be replaced by the much weaker condition that the intersection of the variety has the dimension zero (that is, consists of a finite number of points). This is a generalization of Bézout's theorem (For a proof, see ). The degree is not an intrinsic property of the variety, as it depends on a specific embedding of the variety in an affine or projective space. The degree of a hypersurface is equal to the total degree of its defining equation. A generalization of Bézout's theorem asserts that, if an intersection of n projective hypersurfaces has codimension n, then the degree of the intersection is the product of the degrees of the hypersurfaces. The degree of a projective variety is the evaluation at 1 of the numerator of the Hilbert series of its coordinate ring. It follows that, given the equations of the variety, the degree may be computed from a Gröbner basis of the ideal of these equations.
Свойства
Степень гиперповерхности F = 0 равна полной степени однородного многочлена F, её определяющего (при этом, если F имеет кратные факторы, для подсчета пересечений с учетом кратности используется теория пересечений, как в теореме Безу).
Другие подходы
Для более изысканного подхода, линейная система делителей, определяющая вложение V, может быть связана с линейным расслоением или инвертируемым пучком, определяющим вложение через пространство своих сечений. Тавтологическое линейное расслоение на Pn индуцирует расслоение на V. Степень определяет первый класс Черна. Степень также можно вычислить в кольце когомологий Pn или кольце Чоу, используя класс гиперплоскости, пересекающей класс V нужное число раз.
Расширение теоремы Безу
Степень может быть использована для обобщения теоремы Безу естественным образом на пересечения n гиперповерхностей в Pn.