Введение

В математике постоянная пачка на топологическом пространстве, ассоциированная с множеством, — это пачка множеств на, стебли которой все равны . Она обозначается или. Постоянная предпачка со значением — это предпачка, которая каждому открытому подмножеству пространства присваивает значение , и все её ограничения являются тождественным отображением. Постоянная пачка, ассоциированная с , является шефификацией постоянной предпачки, ассоциированной с . Эта пачка отождествляется с пачкой локально постоянных функций со значениями в .

В некоторых случаях множество можно заменить объектом в некоторой категории (например, когда является категорией абелевых групп или коммутативных колец). Постоянные пачки абелевых групп в частности выступают в качестве коэффициентов в когомологии снопов.

Основы

Пусть X – топологическое пространство, а A – множество. Секции постоянного пучка над открытым множеством U могут быть интерпретированы как непрерывные функции A → U, где A снабжено дискретной топологией. Если X связен, то эти локально постоянные функции постоянны. Если f: X → {точка} – единственное отображение в одноточечное пространство, и f рассматривается как пучок на X, то обратное изображение f⁻¹(пучок {точка}) является постоянным пучком на X. Пространство пучков постоянного пучка на X – это проекция (где A снабжено дискретной топологией).

Подробный пример

Пусть топологическое пространство состоит из двух точек и с дискретной топологией. имеет четыре открытых множества: пять нетривиальных включений открытых множеств из показаны на схеме. Пресшеф на выбирает множество для каждого из четырех открытых множеств и карту ограничения для каждого из девяти включений (пять нетривиальных включений и четыре тривиальных). Постоянный пресшеф со значением , который мы обозначим как , – это пресшеф, который выбирает все четыре множества равными , целым числам, и все карты ограничений – тождественными. является функтором, следовательно, пресшефом, потому что он постоянен. удовлетворяет аксиоме склеивания, но не является пучком, поскольку не удовлетворяет аксиоме локальной идентичности на пустом множестве. Это происходит потому, что пустое множество покрыто пустым семейством множеств: вакуумно, любые два сечения над пустым множеством равны при ограничении на любое множество в пустом семействе. Следовательно, аксиома локальной идентичности подразумевает, что любые два сечения над пустым множеством равны, но это не так. Подобный пресшеф , удовлетворяющий аксиоме локальной идентичности над пустым множеством, строится следующим образом. Пусть , где 0 – множество из одного элемента. На всех непустых множествах присваиваем значение . Для каждого включения открытых множеств возвращает либо единственное отображение в 0, если меньшее множество пусто, либо тождественное отображение на . Заметьте, что как следствие аксиомы локальной идентичности для пустого множества, все карты ограничений, включающие пустое множество, тривиальны. Это верно для любого пресшефа, удовлетворяющего аксиоме локальной идентичности для пустого множества, и в частности для любого пучка. является разделенным пресшефом (то есть удовлетворяет аксиоме локальной идентичности), но, в отличие от , не удовлетворяет аксиоме склеивания. покрывается двумя открытыми множествами и , и эти множества имеют пустое пересечение. Сечение на или на – это элемент , то есть число. Выберем сечение над и над , и предположим, что . Поскольку и ограничиваются одним и тем же элементом 0 над , аксиома склеивания требует существования единственного сечения на , которое ограничивается на и на . Но поскольку карта ограничения из в – тождественная, , и аналогично , так , что является противоречием. слишком мал, чтобы нести информацию как об , так и о . Чтобы расширить его так, чтобы он удовлетворял аксиоме склеивания, пусть . Пусть и – два проекционных отображения. Определим и . Для остальных открытых множеств и включений пусть равно . является пучком, называемым постоянным пучком на со значением . Поскольку – кольцо и все карты ограничений – гомоморфизмы колец, является пучком коммутативных колец.