Введение

Существование элементов группы простого порядка
другие теоремы, приписываемые Огюстену Луи Коши

В математике, в частности в теории групп, теорема Коши утверждает, что если G — конечная группа и p — простое число, делящее порядок G (количество элементов в G), то G содержит элемент порядка p. То есть существует элемент x в G, такой что p — наименьшее положительное целое число, для которого x^p = e, где e — нейтральный элемент G. Теорема названа в честь Огюстена Луи Коши, который открыл её в 1845 году. Теорема является частным обратным к теореме Лагранжа, которая утверждает, что порядок любой подгруппы конечной группы G делит порядок G. В общем случае, не каждый делитель порядка группы G является порядком подгруппы. Теорема Коши утверждает, что для любого простого делителя p порядка G существует подгруппа G порядка p — циклическая группа, порожденная элементом, указанным в теореме Коши. Теорема Коши обобщается первой теоремой Силоу, которая подразумевает, что если p^n — наибольшая степень p, делящая порядок G, то G имеет подгруппу порядка p^n (и, используя тот факт, что p-группа разрешима, можно показать, что G имеет подгруппы порядка p^r для любого r, меньшего или равного n).

Заявление и доказательство

Многие тексты доказывают теорему, используя сильную индукцию и уравнение классов, однако для доказательства теоремы в абелевом случае требуется гораздо меньше инструментов. Также для доказательства можно использовать действия групп.

Доказательство 1

Мы сначала доказываем частный случай, когда G абелева, а затем общий случай; оба доказательства проводятся индукцией по n = |G|, и в качестве базового случая имеют n = p, что тривиально, поскольку любой неединичный элемент теперь имеет порядок p. Предположим сначала, что G абелева. Возьмем любой неединичный элемент a и пусть H — циклическая группа, порожденная им. Если p делит |H|, то a|H|/p является элементом порядка p. Если p не делит |H|, то p делит порядок [G:H] факторгруппы G/H, которая, следовательно, по индуктивной гипотезе содержит элемент порядка p. Этот элемент является классом xH для некоторого x из G, и если m — порядок x в G, то xm = e в G влечет (xH)m = eH в G/H, следовательно, p делит m; как и ранее, xm/p является элементом порядка p в G, завершая доказательство для абелева случая. В общем случае пусть Z — центр G, который является абелевой подгруппой. Если p делит |Z|, то Z содержит элемент порядка p по случаю абелевых групп, и этот элемент подходит и для G. Поэтому мы можем предположить, что p не делит порядок Z. Поскольку p делит |G|, а G является непересекающимся объединением Z и классов сопряженности нецентральных элементов, существует класс сопряженности нецентрального элемента a, размер которого не делится на p. Но классовое уравнение показывает, что размер равен [G : CG(a)], следовательно, p делит порядок централизатора CG(a) элемента a в G, который является собственной подгруппой, поскольку a не является центральным. Эта подгруппа содержит элемент порядка p по индуктивной гипотезе, и доказательство завершено.

Приложения

Теорема Коши позволяет провести грубую классификацию всех элементарных абелевых групп (групп, все неединичные элементы которых имеют одинаковый конечный порядок). Если – такая группа, и имеет порядок , то должно быть простым числом, поскольку в противном случае теорема Коши, примененная к (конечной) подгруппе, порожденной , дает элемент порядка, меньшего, чем . Кроме того, порядок каждой конечной подгруппы является степенью (включая саму себя, если она конечна). Этот аргумент в равной степени применим к p-группам, где порядок каждого элемента является степенью (но не обязательно все порядки одинаковы). Можно использовать абелевский случай теоремы Коши в индуктивном доказательстве первой из теорем Силоу, аналогично первому доказательству, приведенному выше, хотя существуют также доказательства, которые позволяют избежать рассмотрения этого частного случая отдельно.