Введение
В геометрии однородный многогранник — это многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками и который обладает вершинной транзитивностью (транзитивен относительно своих вершин, изогонален, то есть существует изометрия, отображающая любую вершину на любую другую). Из этого следует, что все вершины конгруэнтны, и многогранник обладает высокой степенью зеркальной и вращательной симметрии. Однородные многогранники можно разделить на выпуклые формы с выпуклыми правильными многоугольниками в качестве граней и звездные формы. Звездные формы имеют либо правильные звездные многоугольники в качестве граней, либо звездчатые вершины, либо и то, и другое. В этот список входят:
все 75 непризматических однородных многогранников;
несколько представителей бесконечных множеств призм и антипризм;
один вырожденный многогранник — фигура Скиллинга с перекрывающимися ребрами. Доказано, что существует только 75 однородных многогранников, помимо бесконечных семейств призм и антипризм. Джон Скиллинг обнаружил упущенный вырожденный пример, ослабив условие, что на ребре могут встречаться только две грани. Это вырожденный однородный многогранник, а не просто однородный многогранник, поскольку некоторые пары ребер совпадают. Не включены:
соединения однородных многогранников;
40 потенциальных однородных многогранников с вырожденными звездчатыми вершинами, имеющими перекрывающиеся ребра (не учтены Коксетером);
равномерные замощения (бесконечные многогранники):
11 евклидовых выпуклых равномерных замощений;
28 евклидовых невыпуклых или апирогональных равномерных замощений;
бесконечное количество равномерных замощений на гиперболической плоскости. Любые полигоны или 4-мерные политопы.
In geometry, a uniform polyhedron is a polyhedron which has regular polygons as faces and is vertex transitive (transitive on its vertices, isogonal, i. e. there is an isometry mapping any vertex onto any other). It follows that all vertices are congruent, and the polyhedron has a high degree of reflectional and rotational symmetry. Uniform polyhedra can be divided between convex forms with convex regular polygon faces and star forms. Star forms have either regular star polygon faces or vertex figures or both. This list includes these:
all 75 nonprismatic uniform polyhedra;
a few representatives of the infinite sets of prisms and antiprisms;
one degenerate polyhedron, Skilling's figure with overlapping edges. It was proven in that there are only 75 uniform polyhedra other than the infinite families of prisms and antiprisms. John Skilling discovered an overlooked degenerate example, by relaxing the condition that only two faces may meet at an edge. This is a degenerate uniform polyhedron rather than a uniform polyhedron, because some pairs of edges coincide. Not included are:
The uniform polyhedron compounds. 40 potential uniform polyhedra with degenerate vertex figures which have overlapping edges (not counted by Coxeter);
The uniform tilings (infinite polyhedra)
11 Euclidean convex uniform tilings;
28 Euclidean nonconvex or apeirogonal uniform tilings;
Infinite number of uniform tilings in hyperbolic plane. Any polygons or 4 polytopes
Названия многогранников по числу сторон
Существуют общепринятые геометрические названия для наиболее распространенных многогранников. Пять платоновых тел называются тетраэдром, гексаэдром, октаэдром, додекаэдром и икосаэдром, имеющими соответственно 4, 6, 8, 12 и 20 граней. Правильный гексаэдр — это куб.
Таблица многогранников
Выпуклые формы перечислены в порядке увеличения числа граней, сходящихся в вершине, начиная с 3 граней на вершину, и в порядке возрастания числа сторон каждой грани. Такая последовательность позволяет выявить топологические сходства. Существует бесконечно много призм и антипризм, по одной для каждого правильного многоугольника; перечислены случаи до 12-угольников включительно.
Выпуклые однородные полиэдры
Имя Изображение Тип вершины Символ Витхоффа Симм. C# W# U# K# Верш. Рёбра Грани Грани по типу Тетраэдр 3.3.3 3 2 3 Td C15 W001 U01 K06 4 6 4 4{3} Треугольная призма 3.4.4 2 3 2 D3h C33a — U76a K01a 6 9 5 2{3}+3{4} Усечённый тетраэдр 3.6.6 2 3 3 Td C16 W006 U02 K07 12 18 8 4{3}+4{6} Усечённый куб 3.8.8 2 3 4 Oh C21 W008 U09 K14 24 36 14 8{3}+6{8} Усечённый додекаэдр 3.10.10 2 3 5 Ih C29 W010 U26 K31 60 90 32 20{3}+12{10} Куб 4.4.4 3 2 4 Oh C18 W003 U06 K11 8 12 6 6{4} Пятиугольная призма 4.4.5 2 5 2 D5h C33b — U76b K01b 10 15 7 5{4}+2{5} Шестиугольная призма 4.4.6 2 6 2 D6h C33c — U76c K01c 12 18 8 6{4}+2{6} Семиугольная призма 4.4.7 2 7 2 D7h C33d — U76d K01d 14 21 9 7{4}+2{7} Восьмиугольная призма 4.4.8 2 8 2 D8h C33e — U76e K01e 16 24 10 8{4}+2{8} Девятиугольная призма 4.4.9 2 9 2 D9h C33f — U76f K01f 18 27 11 9{4}+2{9} Десятиугольная призма 4.4.10 2 10 2 D10h C33g — U76g K01g 20 30 12 10{4}+2{10} Одиннадцатиугольная призма 4.4.11 2 11 2 D11h C33h — U76h K01h 22 33 13 11{4}+2{11} Двенадцатиугольная призма 4.4.12 2 12 2 D12h C33i — U76i K01i 24 36 14 12{4}+2{12} Усечённый октаэдр 4.6.6 2 4 3 Oh C20 W007 U08 K13 24 36 14 6{4}+8{6} Усечённый кубооктаэдр 4.6.8 2 3 4 Oh C23 W015 U11 K16 48 72 26 12{4}+8{6}+6{8} Усечённый икосидодекаэдр 4.6.10 2 3 5 Ih C31 W016 U28 K33 120 180 62 30{4}+20{6}+12{10} Додекаэдр 5.5.5 3 2 5 Ih C26 W005 U23 K28 20 30 12 12{5} Усечённый икосаэдр 5.6.6 2 5 3 Ih C27 W009 U25 K30 60 90 32 12{5}+20{6} Октаэдр 3.3.3.3 4 2 3 Oh C17 W002 U05 K10 6 12 8 8{3} Квадратная антипризма 3.3.3.4 2 2 4 D4d C34a — U77a K02a 8 16 10 8{3}+2{4} Пятиугольная антипризма 3.3.3.5 2 2 5 D5d C34b — U77b K02b 10 20 12 10{3}+2{5} Шестиугольная антипризма 3.3.3.6 2 2 6 D6d C34c — U77c K02c 12 24 14 12{3}+2{6} Семиугольная антипризма 3.3.3.7 2 2 7 D7d C34d — U77d K02d 14 28 16 14{3}+2{7} Восьмиугольная антипризма 3.3.3.8 2 2 8 D8d C34e — U77e K02e 16 32 18 16{3}+2{8} Девятиугольная антипризма 3.3.3.9 2 2 9 D9d C34f — U77f K02f 18 36 20 18{3}+2{9} Десятиугольная антипризма 3.3.3.10 2 2 10 D10d C34g — U77g K02g 20 40 22 20{3}+2{10} Одиннадцатиугольная антипризма 3.3.3.11 2 2 11 D11d C34h — U77h K02h 22 44 24 22{3}+2{11} Двенадцатиугольная антипризма 3.3.3.12 2 2 12 D12d C34i — U77i K02i 24 48 26 24{3}+2{12} Кубооктаэдр 3.4.3.4 2 3 4 Oh C19 W011 U07 K12 12 24 14 8{3}+6{4} Ромбокубооктаэдр 3.4.4.4 3 4 2 Oh C22 W013 U10 K15 24 48 26 8{3}+(6+12){4} Ромбикосидодекаэдр 3.4.5.4 3 5 2 Ih C30 W014 U27 K32 60 120 62 20{3}+30{4}+12{5} Икосидодекаэдр 3.5.3.5 2 3 5 Ih C28 W012 U24 K29 30 60 32 20{3}+12{5} Икосаэдр 3.3.3.3.3 5 2 3 Ih C25 W004 U22 K27 12 30 20 20{3} Скрученный куб 3.3.3.3.4 2 3 4 O C24 W017 U12 K17 24 60 38 (8+24){3}+6{4} Скрученный додекаэдр 3.3.3.3.5 2 3 5 I C32 W018 U29 K34 60 150 92 (20+60){3}+12{5}
Однородные звездные полиэдры
Формы, содержащие только выпуклые грани, перечислены первыми, затем следуют формы со звездными гранями. Опять же, существует бесконечно много призм и антипризм; они перечислены здесь до 8-угольных. У однородных многогранников 3 3, , 3, 3 и (3) есть некоторые грани, возникающие в виде сопланарных пар. (Coxeter et al. 1954, стр. 423, 425, 426; Skilling 1975, с. 123)
Название Изображение Wythsym Верш. фиг. Симм. C# W# U# K# Верш. Рёбра Грани Хи Ориентир.? Плотн. Грани по типу Октагемиоктаэдр 3 3 6 6.3 Oh C37W068 U03 K08 12 24 12 0 Да 8{3}+4{6} Тетрагемигексаэдр 3 2 4 4.3 Td C36W067 U04 K09 6 12 7 1 Нет 4{3}+3{4} Кубогемиоктаэдр 4 3 6 6.4 Oh C51W078 U15 K20 12 24 10 −2 Нет 6{4}+4{6} Великий додекаэдр 2 5 (5.5.5.5.5)/2 Ih C44W021 U35 K40 12 30 12 −6 Да 12{5} Великий икосаэдр 2 3 (3.3.3.3.3)/2 Ih C69W041 U53 K58 12 30 20 2 Да 20{3} Великий дитригональный икозидодекаэдр 3 5 (5.3.5.3.5.3)/2 Ih C61W087 U47 K52 20 60 32 −8 Да 20{3}+12{5} Малый ромбигексаэдр 2 4 () 4.8 Oh C60W086 U18 K23 24 48 18 −6 Нет 12{4}+6{8} Малый кубикубоктаэдр 4 4 8 8.4 Oh C38W069 U13 K18 24 48 20 −4 Да 8{3}+6{4}+6{8} Великий ромбикубоктаэдр 4 2 4 4.4 Oh C59W085 U17 K22 24 48 26 2 Да 8{3}+(6+12){4} Малый додекагемидодекаэдр 5 5 10 10.5 Ih C65W091 U51 K56 30 60 18 −12 Нет 12{5}+6{10} Великий додекагеми икосаэдр 5 3 6 6.5 IhC81 W102 U65 K70 30 60 22 −8 Нет 12{5}+10{6} Малый икозигемидодекаэдр 3 5 10 10.3 Ih C63W089 U49 K54 30 60 26 −4 Нет 20{3}+6{10} Малый додекозикосаэдр 3 5 () 10.6 Ih C64W090 U50 K55 60 120 32 −28 Нет 20{6}+12{10} Малый ромбидодекаэдр 2 5 () 10.4 Ih C46W074 U39 K44 60 120 42 −18 Нет 30{4}+12{10} Малый додекозикозидодекаэдр 5 5 10 10.5 IhC42 W072 U33 K38 60 120 44 −16 Да 20{3}+12{5}+12{10} Ромбикосаэдр 2 3 () 6.4 IhC72 W096 U56 K61 60 120 50 −10 Нет 30{4}+20{6} Великий икозикозидодекаэдр 5 3 6 6.5 Ih C62W088 U48 K53 60 120 52 −8 Да 20{3}+12{5}+20{6} Пентаграммическая призма 2 2 .4.4 D5h C33b — U78a K03a 10 15 7 2 Да 5{4}+2 Гептаграммическая призма (7/2) 2 2 .4.4 D7h C33d — U78b K03b 14 21 9 2 Да 7{4}+2 Гептаграммическая призма (7/3) 2 2 .4.4 D7h C33d — U78c K03c 14 21 9 2 Да 7{4}+2 Октаграммическая призма 2 2 .4.4 D8h C33e — U78d K03d 16 24 10 2 Да 8{4}+2 Пентаграммический антипризма 2 2 .3.3.3 D5h C34b — U79a K04a 10 20 12 2 Да 10{3}+2 Пентаграммический перекрещенный антипризма 2 2 .3.3.3 D5d C35a — U80a K05a 10 20 12 2 Да 10{3}+2 Гептаграммический антипризма (7/2) 2 2 .3.3.3 D7h C34d — U79b K04b 14 28 16 2 Да 14{3}+2 Гептаграммический антипризма (7/3) 2 2 .3.3.3 D7d C34d — U79c K04c 14 28 16 2 Да 14{3}+2 Гептаграммический перекрещенный антипризма 2 2 .3.3.3 D7h C35b — U80b K05b 14 28 16 2 Да 14{3}+2 Октаграммический антипризма 2 2 .3.3.3 D8d C34e — U79d K04d 16 32 18 2 Да 16{3}+2 Октаграммический перекрещенный антипризма 2 2 .3.3.3 D8d C35c — U80c K05c 16 32 18 2 Да 16{3}+2 Малый звездчатый додекаэдр 5 2 5 Ih C43 W020 U34 K39 12 30 12 −6 Да 12 Великий звездчатый додекаэдр 3 2 3 Ih C68 W022 U52 K57 20 30 12 2 Да 12 Дитригональный додекадодекаэдр 3 5 (.5)3 Ih C53 W080 U41 K46 20 60 24 −16 Да 12{5}+12 Малый дитригональный икозидодекаэдр 3 3 (.3)3 Ih C39 W070 U30 K35 20 60 32 −8 Да 20{3}+12 Звездчатый усеченный гексаэдр 2 3 3 Oh C66 W092 U19 K24 24 36 14 2 Да 8{3}+6 Великий ромбигексаэдр 2 () 4 Oh C82 W103 U21 K26 24 48 18 −6 Нет 12{4}+6 Великий кубикубоктаэдр 3 4 .3 4 Oh C50 W077 U14 K19 24 48 20 −4 Да 8{3}+6{4}+6 Великий додекагемидодекаэдр Ih C86 W107 U70 K75 30 60 18 −12 Нет 12+6 Малый додекагемикосаэдр 3 6 6. Ih C78 W100 U62 K67 30 60 22 −8 Нет 12+10{6} Додекадодекаэдр 2 5 (.5)2 Ih C45 W073 U36 K41 30 60 24 −6 Да 12{5}+12 Великий икозигемидодекаэдр 3 3 Ih C85 W106 U71 K76 30 60 26 −4 Нет 20{3}+6 Великий икозидодекаэдр 2 3 (.3)2 Ih C70 W094 U54 K59 30 60 32 2 Да 20{3}+12 Кубически усеченный кубоктаэдр 3 4 .6.8 Oh C52 W079 U16 K21 48 72 20 −4 Да 8{6}+6{8}+6 Великий усеченный кубоктаэдр 2 3 .4. Oh C67 W093 U20 K25 48 72 26 2 Да 12{4}+8{6}+6 Усеченный великий додекаэдр 2 5 10.10. Ih C47 W075 U37 K42 60 90 24 −6 Да 12+12{10} Малый звездчатый усеченный додекаэдр 2 5 5 Ih C74 W097 U58 K63 60 90 24 −6 Да 12{5}+12 Великий звездчатый усеченный додекаэдр 2 3 3 Ih C83 W104 U66 K71 60 90 32 2 Да 20{3}+12 Усеченный великий икосаэдр 2 3 6.6. Ih C71 W095 U55 K60 60 90 32 2 Да 12+20{6} Великий додекозикосаэдр 3 () 6 Ih C79 W101 U63 K68 60 120 32 −28 Нет 20{6}+12 Великий ромбидодекаэдр 2 () 4 Ih C89 W109 U73 K78 60 120 42 −18 Нет 30{4}+12 Икозидодекадодекаэдр 5 3 6 6.5Ih C56 W083 U44 K49 60 120 44 −16 Да 12{5}+12+20{6} Малый дитригональный додекозикозидодекаэдр 3 5 10 10.3 Ih C55 W082 U43 K48 60 120 44 −16 Да 20{3}+12+12{10} Великий дитригональный додекозикозидодекаэдр 3 5 .3 5 Ih C54 W081 U42 K47 60 120 44 −16 Да 20{3}+12{5}+12 Великий додекозикозидодекаэдр 3 3 Ih C77 W099 U61 K66 60 120 44 −16 Да 20{3}+12+12 Малый икозикозидодекаэдр 3 3 6 6.3 Ih C40 W071 U31 K36 60 120 52 −8 Да 20{3}+12+20{6} Ромбидодекадодекаэдр 5 2 4 4.5 Ih C48 W076 U38 K43 60 120 54 −6 Да 30{4}+12{5}+12 Великий ромбикозидодекаэдр 3 2 4 4.3 Ih C84 W105 U67 K72 60 120 62 2 Да 20{3}+30{4}+12 Икозиусеченный додекадодекаэдр 3 5 .6.10 Ih C57 W084 U45 K50 120 180 44 −16 Да 20{6}+12{10}+12 Усеченный додекадодекаэдр 2 5 .4. Ih C75 W098 U59 K64 120 180 54 −6 Да 30{4}+12{10}+12 Великий усеченный икозидодекаэдр 2 3 .4.6 Ih C87 W108 U68 K73 120 180 62 2 Да 30{4}+20{6}+12 Сноб-додекадодекаэдр 2 5 3.3 3.5 I C49 W111 U40 K45 60 150 84 −6 Да 60{3}+12{5}+12 Обратный сноб-додекадодекаэдр 2 5 3 3.3.5 I C76 W114 U60 K65 60 150 84 −6 Да 60{3}+12{5}+12 Великий снобикозидодекаэдр 2 3 34. I C73 W113 U57 K62 60 150 92 2 Да (20+60){3}+12 Великий перевернутый снобикозидодекаэдр 2 3 34. I C88 W116 U69 K74 60 150 92 2 Да (20+60){3}+12 Великий ретроснобикозидодекаэдр 2 (34. )/2 I C90 W117 U74 K79 60 150 92 2 Да 37 (20+60){3}+12 Великий сноб-додекозикозидодекаэдр 3 33 3. I C80 W115 U64 K69 60 180 104 −16 Да (20+60){3}+(12+12) Снобикозидодекадодекаэдр 3 5 33.5.3. I C58 W112 U46 K51 60 180 104 −16 Да (20+60){3}+12{5}+12 Малый сноб-икозикозидодекаэдр 3 3 35. Ih C41 W110 U32 K37 60 180 112 −8 Да (40+60){3}+12 Малый ретроснобикозикозидодекаэдр (35. )/2 Ih C91 W118 U72 K77 60 180 112 −8 Да 38 (40+60){3}+12 Великий дирхомбикозидодекаэдр 3 (4 4.3. 4 4. )/2 Ih C92 W119 U75 K80 60 240 124 −56 Нет 40{3}+60{4}+24
Name Image Wythsym Vert. fig Sym. C# W# U# K# Vert. Edges Faces Chi Orient able? Dens. Faces by type Octahemioctahedron 3 3 6 6.3 Oh C37W068 U03 K08 12 24 12 0 Yes 8{3}+4{6} Tetrahemihexahedron 3 2 4 4.3 Td C36W067 U04 K09 6 12 7 1 No 4{3}+3{4} Cubohemioctahedron 4 3 6 6.4 Oh C51W078 U15 K20 12 24 10 −2 No 6{4}+4{6} Greatdodecahedron 2 5 (5.5.5.5.5)/2 Ih C44W021 U35 K40 12 30 12 −6 Yes 3 12{5} Greaticosahedron 2 3 (3.3.3.3.3)/2 Ih C69W041 U53 K58 12 30 20 2 Yes 7 20{3} Greatditrigonalicosidodecahedron 3 5 (5.3.5.3.5.3)/2 Ih C61W087 U47 K52 20 60 32 −8 Yes 6 20{3}+12{5} Smallrhombihexahedron 2 4 ( ) 4.8 Oh C60W086 U18 K23 24 48 18 −6 No 12{4}+6{8} Smallcubicuboctahedron 4 4 8 8.4 Oh C38W069 U13 K18 24 48 20 −4 Yes 2 8{3}+6{4}+6{8} Greatrhombicuboctahedron 4 2 4 4.4 Oh C59W085 U17 K22 24 48 26 2 Yes 5 8{3}+(6+12){4} Small dodecahemi dodecahedron 5 5 10 10.5 Ih C65W091 U51 K56 30 60 18 −12 No 12{5}+6{10} Great dodecahem icosahedron 5 3 6 6.5 IhC81 W102 U65 K70 30 60 22 −8 No 12{5}+10{6} Small icosihemi dodecahedron 3 5 10 10.3 Ih C63W089 U49 K54 30 60 26 −4 No 20{3}+6{10} Smalldodecicosahedron 3 5 ( ) 10.6 Ih C64W090 U50 K55 60 120 32 −28 No 20{6}+12{10} Smallrhombidodecahedron 2 5 ( ) 10.4 Ih C46W074 U39 K44 60 120 42 −18 No 30{4}+12{10} Small dodecicosi dodecahedron 5 5 10 10.5 IhC42 W072 U33 K38 60 120 44 −16 Yes 2 20{3}+12{5}+12{10} Rhombicosahedron 2 3 ( ) 6.4 IhC72 W096 U56 K61 60 120 50 −10 No 30{4}+20{6} Greaticosicosi dodecahedron 5 3 6 6.5 Ih C62W088 U48 K53 60 120 52 −8 Yes 6 20{3}+12{5}+20{6} Pentagrammicprism 2 2 .4.4 D5h C33b — U78a K03a 10 15 7 2 Yes 2 5{4}+2 Heptagrammicprism (7/2) 2 2 .4.4 D7h C33d — U78b K03b 14 21 9 2 Yes 2 7{4}+2 Heptagrammicprism (7/3) 2 2 .4.4 D7h C33d — U78c K03c 14 21 9 2 Yes 3 7{4}+2 Octagrammicprism 2 2 .4.4 D8h C33e — U78d K03d 16 24 10 2 Yes 3 8{4}+2 Pentagrammic antiprism 2 2 .3.3.3 D5h C34b — U79a K04a 10 20 12 2 Yes 2 10{3}+2 Pentagrammiccrossed antiprism 2 2 .3.3.3 D5d C35a — U80a K05a 10 20 12 2 Yes 3 10{3}+2 Heptagrammicantiprism (7/2) 2 2 .3.3.3 D7h C34d — U79b K04b 14 28 16 2 Yes 3 14{3}+2 Heptagrammicantiprism (7/3) 2 2 .3.3.3 D7d C34d — U79c K04c 14 28 16 2 Yes 3 14{3}+2 Heptagrammiccrossed antiprism 2 2 .3.3.3 D7h C35b — U80b K05b 14 28 16 2 Yes 4 14{3}+2 Octagrammicantiprism 2 2 .3.3.3 D8d C34e — U79d K04d 16 32 18 2 Yes 3 16{3}+2 Octagrammiccrossed antiprism 2 2 .3.3.3 D8d C35c — U80c K05c 16 32 18 2 Yes 5 16{3}+2 Smallstellateddodecahedron 5 2 5 Ih C43 W020 U34 K39 12 30 12 −6 Yes 3 12 Greatstellateddodecahedron 3 2 3 Ih C68 W022 U52 K57 20 30 12 2 Yes 7 12 Ditrigonaldodeca dodecahedron 3 5 (.5)3 Ih C53 W080 U41 K46 20 60 24 −16 Yes 4 12{5}+12 Smallditrigonalicosidodecahedron 3 3 (.3)3 Ih C39 W070 U30 K35 20 60 32 −8 Yes 2 20{3}+12 Stellatedtruncatedhexahedron 2 3 3 Oh C66 W092 U19 K24 24 36 14 2 Yes 7 8{3}+6 Greatrhombihexahedron 2 ( ) 4 Oh C82 W103 U21 K26 24 48 18 −6 No 12{4}+6 Greatcubicuboctahedron 3 4 .3 4 Oh C50 W077 U14 K19 24 48 20 −4 Yes 4 8{3}+6{4}+6 Great dodecahemi dodecahedron Ih C86 W107 U70 K75 30 60 18 −12 No 12+6 Small dodecahemi cosahedron 3 6 6. Ih C78 W100 U62 K67 30 60 22 −8 No 12+10{6} Dodeca dodecahedron 2 5 (.5)2 Ih C45 W073 U36 K41 30 60 24 −6 Yes 3 12{5}+12 Great icosihemi dodecahedron 3 3 Ih C85 W106 U71 K76 30 60 26 −4 No 20{3}+6 Greaticosidodecahedron 2 3 (.3)2 Ih C70 W094 U54 K59 30 60 32 2 Yes 7 20{3}+12 Cubitruncatedcuboctahedron 3 4 .6.8 Oh C52 W079 U16 K21 48 72 20 −4 Yes 4 8{6}+6{8}+6 Greattruncatedcuboctahedron 2 3 .4. Oh C67 W093 U20 K25 48 72 26 2 Yes 1 12{4}+8{6}+6 Truncatedgreatdodecahedron 2 5 10.10. Ih C47 W075 U37 K42 60 90 24 −6 Yes 3 12+12{10} Small stellatedtruncateddodecahedron 2 5 5 Ih C74 W097 U58 K63 60 90 24 −6 Yes 9 12{5}+12 Great stellatedtruncateddodecahedron 2 3 3 Ih C83 W104 U66 K71 60 90 32 2 Yes 13 20{3}+12 Truncatedgreaticosahedron 2 3 6.6. Ih C71 W095 U55 K60 60 90 32 2 Yes 7 12+20{6} Greatdodecicosahedron 3 ( ) 6 Ih C79 W101 U63 K68 60 120 32 −28 No 20{6}+12 Greatrhombidodecahedron 2 ( ) 4 Ih C89 W109 U73 K78 60 120 42 −18 No 30{4}+12 Icosidodeca dodecahedron 5 3 6 6.5Ih C56 W083 U44 K49 60 120 44 −16 Yes 4 12{5}+12+20{6} Small ditrigonaldodecicosi dodecahedron 3 5 10 10.3 Ih C55 W082 U43 K48 60 120 44 −16 Yes 4 20{3}+12+12{10} Great ditrigonaldodecicosi dodecahedron 3 5 .3 5 Ih C54 W081 U42 K47 60 120 44 −16 Yes 4 20{3}+12{5}+12 Greatdodecicosi dodecahedron 3 3 Ih C77 W099 U61 K66 60 120 44 −16 Yes 10 20{3}+12+12 Small icosicosi dodecahedron 3 3 6 6.3 Ih C40 W071 U31 K36 60 120 52 −8 Yes 2 20{3}+12+20{6} Rhombidodeca dodecahedron 5 2 4 4.5 Ih C48 W076 U38 K43 60 120 54 −6 Yes 3 30{4}+12{5}+12 Greatrhombicosi dodecahedron 3 2 4 4.3 Ih C84 W105 U67 K72 60 120 62 2 Yes 13 20{3}+30{4}+12 Icositruncateddodeca dodecahedron 3 5 .6.10 Ih C57 W084 U45 K50 120 180 44 −16 Yes 4 20{6}+12{10}+12 Truncateddodeca dodecahedron 2 5 .4. Ih C75 W098 U59 K64 120 180 54 −6 Yes 3 30{4}+12{10}+12 Greattruncatedicosidodecahedron 2 3 .4.6 Ih C87 W108 U68 K73 120 180 62 2 Yes 13 30{4}+20{6}+12 Snub dodeca dodecahedron 2 5 3.3 3.5 I C49 W111 U40 K45 60 150 84 −6 Yes 3 60{3}+12{5}+12 Invertedsnub dodeca dodecahedron 2 5 3 3.3.5 I C76 W114 U60 K65 60 150 84 −6 Yes 9 60{3}+12{5}+12 Greatsnubicosidodecahedron 2 3 34. I C73 W113 U57 K62 60 150 92 2 Yes 7 (20+60){3}+12 Greatinvertedsnubicosidodecahedron 2 3 34. I C88 W116 U69 K74 60 150 92 2 Yes 13 (20+60){3}+12 Greatretrosnubicosidodecahedron 2 (34. )/2 I C90 W117 U74 K79 60 150 92 2 Yes 37 (20+60){3}+12 Greatsnubdodecicosi dodecahedron 3 33 3. I C80 W115 U64 K69 60 180 104 −16 Yes 10 (20+60){3}+(12+12) Snubicosidodeca dodecahedron 3 5 33.5.3. I C58 W112 U46 K51 60 180 104 −16 Yes 4 (20+60){3}+12{5}+12 Small snub icos icosidodecahedron 3 3 35. Ih C41 W110 U32 K37 60 180 112 −8 Yes 2 (40+60){3}+12 Small retrosnubicosicosi dodecahedron (35. )/2 Ih C91 W118 U72 K77 60 180 112 −8 Yes 38 (40+60){3}+12 Greatdirhombicosi dodecahedron 3 (4 4.3. 4 4. )/2 Ih C92 W119 U75 K80 60 240 124 −56 No 40{3}+60{4}+24
Особый случай
Имя Изображение Уайтсим Верт. фиг. Символ C# W# U# K# Вершины Рёбра Грани Хи Ориентируемый? Плотность Грани по типу Великий диснубдиромбидодекаэдр (3) (.4.3.3.3.4. .4 4)/2 Ih —— — — 60 360 (*) 204 −96 Нет 120{3}+60{4}+24
Великий диснубдиромбидодекаэдр имеет 240 из 360 рёбер, совпадающих в пространстве в 120 парах. Из-за этой вырожденности рёбер он не всегда считается однородным многогранником.