Введение
Полиэдр с параллельными основаниями, соединенными треугольниками
В геометрии антипризма – это полиэдр, состоящий из двух параллельных одинаковых (не являющихся зеркальными отражениями друг друга) n-угольников, соединенных чередующейся лентой из 2n треугольников. Они обозначаются как An в нотации Конвея. Антипризмы являются подклассом призматоидов и представляют собой (вырожденный) тип скрученных полиэдров. Антипризмы подобны призмам, но отличаются тем, что их основания повёрнуты относительно друг друга, а боковые грани (соединяющие основания) образованы 2n треугольниками, а не n четырёхугольниками. Двойственный полиэдр n-угольной антипризмы – n-угольный трапезоэдр.
История
В своей книге "Гармоники мира" (1619 год) Иоганн Кеплер отметил существование бесконечного семейства антипризм. Традиционно это считается первым обнаружением этих форм, однако они могли быть известны и ранее: неподписанный печатный блок с развёрткой шестиугольной антипризмы был приписан Иеронимусу Андреае, скончавшемуся в 1556 году. Немецкая форма слова "антипризма" использовалась для обозначения этих форм в XIX веке; Карл Хайнце считает, что её ввёл де. Хотя английское слово "anti prism" ранее использовалось для оптической призмы, предназначенной для компенсации эффектов основной оптической системы, первое употребление слова "antiprism" в английском языке в его геометрическом значении, по всей видимости, относится к началу XX века и встречается в трудах Х. С. М. Коксетера.
Правая антипризма
Для антипризмы с правильными n-угольными основаниями обычно рассматривается случай, когда эти две копии скручены на угол в градусах. Ось правильного многоугольника – это прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника и проходящая через его центр. Для антипризмы с конгруэнтными правильными n-угольными основаниями, скрученными на угол в градусах, достигается большая степень регулярности, если основания имеют общую ось, то есть коаксиальны; а именно (для не лежащих в одной плоскости оснований): если линия, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскостям оснований. В этом случае антипризма называется правильной антипризмой, и её 2n боковых граней являются равнобедренными треугольниками.
В более высоких измерениях
Четырехмерные антипризмы можно определить как фигуры, имеющие два двойственных полиэдра в качестве параллельных противоположных граней, так что каждая трехмерная грань между ними образована двумя двойственными частями полиэдров: вершиной и двойственным многоугольником, или двумя двойственными ребрами. Любой трехмерный выпуклый полиэдр комбинаторно эквивалентен одной из двух противоположных граней четырехмерной антипризмы, построенной из его канонического полиэдра и его полярного дуального полиэдра. Однако существуют четырехмерные полиэдры, которые нельзя объединить со своими двойственными полиэдрами для формирования пятимерных антипризм.