Введение
Полиэдр, связанный с другим заменой вершин на грани.
В геометрии каждый полиэдр связан со второй двойственной структурой, где вершины одного соответствуют граням другого, а рёбра между парами вершин одного соответствуют рёбрам между парами граней другого. Такие двойственные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками, но не все из них могут быть построены как геометрические многогранники. Двойственный к двойственному любого полиэдра является исходным полиэдром. Двойственность сохраняет симметрии многогранника. Поэтому для многих классов полиэдров, определяемых их симметриями, двойственные полиэдры принадлежат к соответствующему классу симметрии. Например, правильные полиэдры – (выпуклые) платоновы тела и (звёздные) тела Кеплера — Пуансо – образуют двойственные пары, где правильный тетраэдр является самодвойственным. Двойственный к изогональному полиэдру (в котором любые две вершины эквивалентны относительно симметрий полиэдра) является изогедральным полиэдром (в котором любые две грани эквивалентны), и наоборот. Двойственный к изотоксальному полиэдру (в котором любые два ребра эквивалентны) также является изотоксальным. Двойственность тесно связана с полярной взаимностью – геометрическим преобразованием, которое при применении к выпуклому полиэдру реализует двойственный полиэдр как другой выпуклый полиэдр.
Виды дуальности
Существует множество видов двойственности. Наиболее важные для элементарных многогранников — полярная взаимность и топологическая, или абстрактная двойственность.
Канонические дуалы
Любой выпуклый многогранник может быть деформирован в каноническую форму, в которой существует единичная средняя сфера (или интерсфера), касательная ко всем ребрам, и такая, что среднее положение точек касания является центром сферы. Эта форма уникальна с точностью до конгруэнтности. Если мы построим полярный многогранник к такому каноническому многограннику относительно его средней сферы, то двойной многогранник будет иметь те же точки касания с ребрами и, следовательно, также будет каноническим. Это канонический двойник, и вместе они образуют каноническое двойственное соединение.
Строительство Дорман Люк
Для однородного многогранника каждая грань двойственного многогранника может быть получена из соответствующей вершинной фигуры исходного многогранника с помощью построения Дормана Люка.
Топологическая двойственность
Даже если пара многогранников не может быть получена друг из друга посредством полярного преобразования, они могут называться дуальными, если вершины одного соответствуют граням другого, а ребра одного – ребрам другого, с сохранением инцидентности. Такие пары многогранников все равно остаются топологически или абстрактно дуальными. Вершины и ребра выпуклого многогранника образуют граф (1-скелет многогранника), встроенный в поверхность многогранника (топологическую сферу). Этот граф можно спроецировать в виде диаграммы Шлегеля на плоскость. Граф, образованный вершинами и ребрами дуального многогранника, является дуальным графом исходного графа. В более общем случае, для любого многогранника, чьи грани образуют замкнутую поверхность, вершины и ребра многогранника образуют граф, встроенный в эту поверхность, а вершины и ребра (абстрактного) дуального многогранника образуют дуальный граф исходного графа. Абстрактный многогранник – это определенный вид частично упорядоченного множества (посета) элементов, где инцидентности, или связи, между элементами множества соответствуют инцидентностям между элементами (гранями, ребрами, вершинами) многогранника. Каждый такой посет имеет дуальный посет, образованный обращением всех отношений порядка. Если посет визуализирован как диаграмма Хассе, дуальный посет можно визуализировать, просто перевернув диаграмму Хассе. Каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику таким образом и имеет абстрактный дуальный многогранник. Однако для некоторых типов невыпуклых геометрических многогранников дуальные многогранники могут оказаться не геометрически реализуемыми.
Двойные политопы и тесселяции
Двойственность может быть обобщена на n-мерное пространство и двойные политопы; в двух измерениях они называются двойными многоугольниками. Вершины одного политопа соответствуют (n − 1)-мерным элементам, или граням, другого, а j точек, определяющих (j − 1)-мерный элемент, будут соответствовать j гиперплоскостям, пересечение которых дает (n − j)-мерный элемент. Двойственность n-мерной тесселяции или сотовой структуры может быть определена аналогичным образом. В общем случае, грани дуального политопа будут топологическими дуалами вершинных фигур исходного политопа. Для полярных взаимно обратных регулярных и однородных политопов, грани дуального политопа будут полярными взаимно обратными вершинным фигурам исходного политопа. Например, в четырех измерениях вершинная фигура 600-ячейки является икосаэдром; двойственная 600-ячейке является 120-ячейка, чьи грани представляют собой додекаэдры, которые являются дуальными икосаэдру.