Архимедовы тела: Многогранники с одинаковыми вершинами

Введение

Полиэдры, в которых все вершины одинаковы.

В геометрии, архимедово тело — это одно из 13 выпуклых полиэдров, грани которых являются правильными многоугольниками, а вершины симметричны относительно друг друга. Впервые они были перечислены Архимедом. Они принадлежат к классу выпуклых однородных полиэдров — выпуклых полиэдров с правильными гранями и симметричными вершинами, который подразделяется на архимедовы тела, пять платоновых тел (каждое с только одним типом граней) и два бесконечных семейства призм и антипризм. Псевдоромбикубоктаэдр — это дополнительный полиэдр с правильными гранями и конгруэнтными вершинами, но он обычно не считается архимедовым телом, поскольку он не является вершинно-транзитивным. Еще более крупный класс, чем выпуклые однородные полиэдры, составляют тела Джонсона, у которых правильные многоугольные грани не обязаны сходиться в одинаковых вершинах. В этих полиэдрах вершины идентичны в том смысле, что глобальная изометрия всего тела переводит любую вершину в любую другую. Было замечено, что 14-й полиэдр, вытянутая квадратная гиробикупола (или псевдоромбикубоктаэдр), удовлетворяет более слабому определению архимедова тела, в котором «одинаковые вершины» означают лишь то, что части полиэдра вблизи любых двух вершин выглядят одинаково (у них одинаковые формы граней, встречающихся вокруг каждой вершины в одном и том же порядке и образующих одинаковые углы). Грюнбаум указал на распространенную ошибку, когда авторы определяют архимедовы тела, используя ту или иную форму этого локального определения, но при этом исключают 14-й полиэдр. Если перечислять только 13 полиэдров, определение должно использовать глобальные симметрии полиэдра, а не локальные окрестности. Призмы и антипризмы, чьи группы симметрии являются диэдрическими группами, обычно не считаются архимедовыми телами, хотя их грани являются правильными многоугольниками, а их группы симметрии действуют транзитивно на их вершинах. За исключением этих двух бесконечных семейств, существует 13 архимедовых тел. Все архимедовы тела (но не вытянутая квадратная гиробикупола) могут быть построены с помощью построений Вайтхоффа из платоновых тел с тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрией.

In geometry, an Archimedean solid is one of 13 convex polyhedra whose faces are regular polygons and whose vertices are all symmetric to each other. They were first enumerated by Archimedes. They belong to the class of convex uniform polyhedra, the convex polyhedra with regular faces and symmetric vertices, which is divided into the Archimedean solids, the five Platonic solids (each with only one type of polygon face), and the two infinite families of prisms and antiprisms. The pseudorhombicuboctahedron is an extra polyhedron with regular faces and congruent vertices, but it is not generally counted as an Archimedean solid because it is not vertex transitive. An even larger class than the convex uniform polyhedra is the Johnson solids, whose regular polygonal faces do not need to meet in identical vertices. In these polyhedra, the vertices are identical, in the sense that a global isometry of the entire solid takes any one vertex to any other. observed that a 14th polyhedron, the elongated square gyrobicupola (or pseudo rhombicuboctahedron), meets a weaker definition of an Archimedean solid, in which "identical vertices" means
merely that the parts of the polyhedron near any two vertices look the same (they have the same shapes of faces meeting around each vertex in the same order and forming the same angles). Grünbaum pointed out a frequent error in which authors define Archimedean solids using some form of this local definition but omit the 14th polyhedron. If only 13 polyhedra are to be listed, the definition must use global symmetries of the polyhedron rather than local neighborhoods. Prisms and antiprisms, whose symmetry groups are the dihedral groups, are generally not considered to be Archimedean solids, even though their faces are regular polygons and their symmetry groups act transitively on their vertices. Excluding these two infinite families, there are 13 Archimedean solids. All the Archimedean solids (but not the elongated square gyrobicupola) can be made via Wythoff constructions from the Platonic solids with tetrahedral, octahedral and icosahedral symmetry.

Происхождение названия

Архимедские тела получили своё название в честь Архимеда, который рассматривал их в ныне утерянной работе. Папп ссылается на неё, утверждая, что Архимед перечислил 13 многогранников. В эпоху Возрождения художники и математики ценили чистые формы с высокой симметрией, и примерно к 1620 году Иоганн Кеплер завершил повторное открытие этих 13 многогранников, а также дал определение призмам, антипризмам и невыпуклым телам, известным как полиэдры Кеплера — Пуансо. (Подробнее о повторном открытии Архимедовых тел в эпоху Возрождения см. [здесь]). Кеплер, возможно, обнаружил также удлинённую квадратную гиробикуполу (псевдоромбикубоктаэдр): по крайней мере, он однажды заявил о существовании 14 Архимедовых тел. Однако в его опубликованном перечислении содержатся только 13 однородных многогранников, а первое чёткое утверждение о существовании псевдоромбикубоктаэдра было сделано в 1905 году Дунканом Сомервиллем.

Свойства

Количество вершин равно 720°, деленному на дефект угла при вершине. Кубоктаэдр и икосидодекаэдр однородны по ребрам и называются квазиправильными. Двойственные к телам Архимеда называются телами Каталана. Вместе с бипирамидами и трапецоэдрами они составляют класс однородных многогранников с регулярными вершинами.

Хиральность

Усечённый куб и усечённый додекаэдр известны как хиральные, поскольку существуют в левозакрученной (латинское: левоморф или лаевоморф) и правозакрученной (латинское: декстроморф) формах. Когда объект существует в нескольких формах, являющихся трехмерными зеркальными отражениями друг друга, эти формы могут называться энантиоморфами. (Эта номенклатура также применяется к формам определенных химических соединений.)

Цитируемые работы

Перепечатано в .