Пятимерное пространство: от теории Калуцы — Клейна до M-теории.

Введение

Геометрическое пространство с пятью измерениями, математические пространства, имеющие пять измерений. Пятимерное пространство — это пространство, обладающее пятью измерениями. В математике последовательность из N чисел может представлять положение в N-мерном пространстве. Если рассматривать это с физической точки зрения, то это на одно измерение больше, чем привычные три пространственных измерения и четвертое измерение времени, используемое в релятивистской физике. Является ли Вселенная пятимерной – вопрос для обсуждения.

Физика

Большая часть ранних работ по пятимерному пространству была попыткой разработать теорию, объединяющую четыре фундаментальных взаимодействия в природе: сильные и слабые ядерные силы, гравитацию и электромагнетизм. Немецкий математик Теодор Калуца и шведский физик Оскар Клейн независимо друг от друга разработали теорию Калуца — Клейна в 1921 году, которая использовала пятое измерение для объединения гравитации с электромагнитной силой. Хотя позднее было обнаружено, что их подходы были, по крайней мере, частично неточными, эта концепция послужила основой для дальнейших исследований в течение последнего столетия. Даже если оно не обнаруживается напрямую, это косвенно указывает на связь между, казалось бы, несвязанными силами. Теория Калуца — Клейна пережила возрождение в 1970-х годах благодаря появлению теории суперструн и супергравитации: концепции, согласно которой реальность состоит из вибрирующих нитей энергии, постулата, математически реализуемого только в десяти или более измерениях. Теория суперструн затем эволюционировала в более обобщенный подход, известный как теория М. Теория М предполагала потенциально наблюдаемое дополнительное измерение в дополнение к десяти основным, что позволило бы существование суперструн. Остальные 10 измерений компактифицированы, или «свернуты», до размеров ниже субатомного уровня. Теория М объясняет слабость гравитации по сравнению с другими фундаментальными силами природы, что можно увидеть, например, когда магнит легко поднимает булавку со стола, преодолевая гравитационное притяжение всей Земли. Главным новшеством Эйнштейна и Бергмана было серьезное рассмотрение пятого измерения как физической сущности, а не просто как уловки для объединения метрического тензора и электромагнитного потенциала. Однако они впоследствии отказались от этой идеи, модифицировав теорию, чтобы нарушить её пятимерную симметрию. Их рассуждения, как предполагал Эдвард Виттен, заключались в том, что более симметричная версия теории предсказывала существование нового поля дальнего действия, одновременно безмассового и скалярного, что потребовало бы фундаментальной модификации теории общей относительности Эйнштейна. Пространство Минковского и уравнения Максвелла в вакууме могут быть вложены в пятимерный тензор кривизны Римана. В 1993 году физик Жерар 'т Хоофт выдвинул голографический принцип, который объясняет, что информация о дополнительном измерении проявляется как кривизна в пространстве-времени с одним меньшим измерением. Например, голограммы — это трехмерные изображения, размещенные на двухмерной поверхности, что придает изображению кривизну при движении наблюдателя. Аналогично, в общей теории относительности четвертое измерение проявляется в наблюдаемых трех измерениях как траектория кривизны движущейся бесконечно малой (тестовой) частицы. 'Т Хоофт предположил, что пятое измерение является, по сути, «тканью пространства-времени». Недавние исследования предлагают несколько альтернативных интерпретаций 5D-расширения пространства-времени, большинство из которых обобщают более раннюю теорию Калуцы — Клейна. Первый подход — это пространство-время-материя, который использует неограниченную группу 5D-координатных преобразований для получения новых решений уравнений поля Эйнштейна, согласующихся с соответствующими классическими решениями в 4D-пространстве. Другое 5D-представление описывает квантовую физику с точки зрения термопространственно-временного ансамбля и устанавливает связь с классической теорией поля как с предельными случаями. Еще один подход, представление пространства-кима, переводит обычное время из упорядоченного события, представляющего собой положительное действительное число, в комплексное время (ким), что эффективно преобразует продольные процессы из временных рядов в 2D-многообразия (поверхности кима).

Much of the early work on five dimensional space was in an attempt to develop a theory that unifies the four fundamental interactions in nature: strong and weak nuclear forces, gravity, and electromagnetism. German mathematician Theodor Kaluza and Swedish physicist Oskar Klein independently developed the Kaluza–Klein theory in 1921, which used the fifth dimension to unify gravity with electromagnetic force. Although their approaches were later found to be at least partially inaccurate, the concept provided a basis for further research over the past century. While not detectable, it would indirectly imply a connection between seemingly unrelated forces. The Kaluza–Klein theory experienced a revival in the 1970s due to the emergence of superstring theory and supergravity: the concept that reality is composed of vibrating strands of energy, a postulate only mathematically viable in ten dimensions or more. Superstring theory then evolved into a more generalized approach known as M theory. M theory suggested a potentially observable extra dimension in addition to the ten essential dimensions which would allow for the existence of superstrings. The other 10 dimensions are compacted, or "rolled up", to a size below the subatomic level. M theory would explain the weakness of gravity relative to the other fundamental forces of nature, as can be seen, for example, when using a magnet to lift a pin off a table—the magnet overcomes the gravitational pull of the entire earth with ease. The main novelty of Einstein and Bergmann was to seriously consider the fifth dimension as a physical entity, rather than an excuse to combine the metric tensor and electromagnetic potential. But they then reneged, modifying the theory to break its five dimensional symmetry. Their reasoning, as suggested by Edward Witten, was that the more symmetric version of the theory predicted the existence of a new long range field, one that was both massless and scalar, which would have required a fundamental modification to Einstein's theory of general relativity. Minkowski space and Maxwell's equations in vacuum can be embedded in a five dimensional Riemann curvature tensor. In 1993, the physicist Gerard 't Hooft put forward the holographic principle, which explains that the information about an extra dimension is visible as a curvature in a spacetime with one fewer dimension. For example, holograms are three dimensional pictures placed on a two dimensional surface, which gives the image a curvature when the observer moves. Similarly, in general relativity, the fourth dimension is manifested in observable three dimensions as the curvature path of a moving infinitesimal (test) particle. 'T Hooft has speculated that the fifth dimension is really the "spacetime fabric". Recent research suggests several alternative interpretations of the 5D extension of spacetime, most of them generalizing the earlier Kaluza Klein theory. The first approach is space time matter, which utilizes an unrestricted group of 5D coordinate transforms to derive new solutions of the Einstein's field equations that agree with the corresponding classical solutions in 4D spacetime. Another 5D representation describes quantum physics from a thermal space time ensemble perspective and draws connections with classical field theory as limiting cases. Yet another approach, spacekime representation, lifts the ordinary time from an event ordering positive real number to complex time (kime), which effectively transforms longitudinal processes from time series into 2D manifolds (kime surfaces).

Пятимерная геометрия

Согласно определению Кляйна, «геометрия — это изучение инвариантных свойств пространства-времени при преобразованиях внутри него». Следовательно, геометрия пятого измерения изучает инвариантные свойства этого пространства-времени при нашем движении в нём, выраженные в виде формальных уравнений. Пятимерная геометрия обычно представляется с помощью 5 координат (x, y, z, w, v), где движение вдоль оси v соответствует переходу между различными гиперъёмами.

Гиперсфера

Гиперсфера в 5-мерном пространстве (также называемая 4-сферой, поскольку её поверхность является 4-мерной) состоит из множества всех точек в 5-мерном пространстве, находящихся на фиксированном расстоянии r от центральной точки P и обладающих вращательной симметрией. Гиперобъём, заключённый этой гиперповерхностью, равен: