Введение

Регулярное покрытие двумерного пространства

В геометрии шестиугольное покрытие или шестиугольная мозаика — это регулярное покрытие евклидовой плоскости, в котором в каждой вершине сходятся ровно три шестиугольника. Оно имеет символ Шлефли {6,3} или t{3,6} (как усечённая треугольная мозаика). Английский математик Джон Конвей назвал его гекстилем. Внутренний угол шестиугольника равен 120 градусам, поэтому три шестиугольника в одной точке образуют полный круг в 360 градусов. Это одно из трёх правильных покрытий плоскости. Два других — треугольное покрытие и квадратное покрытие.

Приложения

Шестиугольная мозаика – наиболее плотный способ расположения кругов в двух измерениях. Гипотеза о сотах утверждает, что шестиугольная мозаика является наилучшим способом разделения поверхности на области равной площади с минимальным общим периметром. Оптимальная трехмерная структура для создания сотовой структуры (или, точнее, мыльных пузырей) была исследована лордом Кельвином, который полагал, что структура Кельвина (или гранецентрированная кубическая решетка) является оптимальной. Однако менее регулярная структура Уэйра — Фелана немного лучше. Эта структура существует в природе в форме графита, где каждый лист графена напоминает куриную сетку, с прочными ковалентными углеродными связями. Были синтезированы трубчатые листы графена, известные как углеродные нанотрубки. Они обладают множеством потенциальных применений благодаря высокой прочности на разрыв и электрическим свойствам. Силицен аналогичен. Куриная сетка состоит из гексагональной решетки (часто нерегулярной) из проволоки. Гексагональная мозаика встречается во многих кристаллах. В трех измерениях гранецентрированная кубическая и гексагональная плотная упаковка являются распространенными кристаллическими структурами. Это наиболее плотные способы упаковки сфер в трех измерениях. Структурно они состоят из параллельных слоев гексагональной мозаики, аналогичных структуре графита. Они различаются способом смещения слоев относительно друг друга, при этом гранецентрированная кубическая структура является более регулярной из двух. Чистая медь, среди прочих материалов, образует гранецентрированную кубическую решетку.

Мутации симметрии

Эта плитка топологически связана как часть последовательности регулярных плиток с шестиугольными гранями, начиная с шестиугольной плитки, с символом Шлефли {6,n} и диаграммой Коксетера , продолжающейся до бесконечности. Эта плитка топологически связана с правильными многогранниками с вершинной фигурой n3, как часть последовательности, переходящей в гиперболическую плоскость. Аналогично, она связана с однородными усечёнными многогранниками с вершинной фигурой n.6.6. Эта плитка также является частью последовательности усечённых ромбических многогранников и плиток с симметрией группы Коксетера [n,3]. Куб можно рассматривать как ромбический гексаэдр, в котором ромбы являются квадратами. Усечённые формы имеют правильные n-угольники на усечённых вершинах и неправильные шестиугольные грани.

Конструкции из шестоугольных и треугольных плиток

Как и в случае с однородными многогранниками, существует восемь однородных мозаек, которые могут быть построены на основе правильной шестиугольной мозайки (или её двойственной треугольной мозайки). Раскрасив плитки красным цветом на исходных гранях, жёлтым – на исходных вершинах и синим – вдоль исходных рёбер, получим 8 форм, 7 из которых топологически различны. (Усечённая треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

Круговая упаковка

Шестиугольная мозаика может быть использована для упаковки окружностей, размещая окружности одинакового диаметра в центре каждой точки мозаики. Каждая окружность касается трех других окружностей в упаковке (число касаний). Пространство внутри каждого шестиугольника позволяет разместить еще одну окружность, создавая наиболее плотную упаковку, полученную из треугольной мозаики, где каждая окружность касается максимум шести окружностей.