Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Регулярная мощение плоскости
Regular tiling of the plane
В геометрии треугольное мощение или треугольная тесселяция является одним из трех правильных мощений евклидовой плоскости и единственным таким мощением, в котором составляющие фигуры не являются параллелограммами. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60 градусам, шесть треугольников в одной точке занимают полный круг в 360 градусов. Треугольное мощение имеет символ Шлефли {3,6}. Английский математик Джон Конвей назвал его дельтиль, по названию треугольной формы греческой буквы дельта (Δ). Треугольное мощение также можно назвать кишекстилем, используя операцию "кис", которая добавляет центральную точку и треугольники для замены граней гекстиля. Это одно из трех правильных мощений плоскости. Два других – квадратное мощение и шестиугольное мощение.
In geometry, the triangular tiling or triangular tessellation is one of the three regular tilings of the Euclidean plane, and is the only such tiling where the constituent shapes are not parallelogons. Because the internal angle of the equilateral triangle is 60 degrees, six triangles at a point occupy a full 360 degrees. The triangular tiling has Schläfli symbol of {3,6}. English mathematician John Conway called it a deltille, named from the triangular shape of the Greek letter delta (Δ). The triangular tiling can also be called a kishextille by a kis operation that adds a center point and triangles to replace the faces of a hextille. It is one of three regular tilings of the plane. The other two are the square tiling and the hexagonal tiling.
Геометрические изменения
Треугольные мощения могут быть построены с эквивалентной топологией {3,6} (6 треугольников вокруг каждой вершины), как и у правильного мощения. При одинаковых гранях (транзитивность граней) и одинаковых вершинах (транзитивность вершин) существует 5 вариантов. Симметрия подразумевает, что все грани одного цвета.
Triangular tilings can be made with the equivalent {3,6} topology as the regular tiling (6 triangles around every vertex). With identical faces (face transitivity) and vertex transitivity, there are 5 variations. Symmetry given assumes all faces are the same color.
Связанные полиэдра и плитки
Плоскостные покрытия связаны с многогранниками. Уменьшение количества треугольников на вершине оставляет зазор и позволяет сложить её в пирамиду. Эти покрытия можно расширить до платоновых тел: пять, четыре и три треугольника на вершине соответствуют икосаэдру, октаэдру и тетраэдру, соответственно. Данное покрытие топологически связано как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3,n}, продолжающейся в гиперболическую плоскость. Оно также топологически связано как часть последовательности тел Каталана с конфигурацией граней Vn.6.6, и также продолжается в гиперболическую плоскость. V3.6.6V4.6.6V5.6.6V6.6.6V7.6.6
The planar tilings are related to polyhedra. Putting fewer triangles on a vertex leaves a gap and allows it to be folded into a pyramid. These can be expanded to Platonic solids: five, four and three triangles on a vertex define an icosahedron, octahedron, and tetrahedron respectively. This tiling is topologically related as a part of sequence of regular polyhedra with Schläfli symbols {3,n}, continuing into the hyperbolic plane. It is also topologically related as a part of sequence of Catalan solids with face configuration Vn.6.6, and also continuing into the hyperbolic plane. V3.6.6V4.6.6V5.6.6V6.6.6V7.6.6
Конструкции из шестоугольных и треугольных плиток
Как и в случае с однородными многогранниками, существует восемь однородных мозаек, которые можно получить на основе правильной шестиугольной мозайки (или её двойственной треугольной мозайки). Раскрасив элементы мозаики красным цветом на исходных гранях, жёлтым – на исходных вершинах и синим – вдоль исходных рёбер, получим 8 форм, 7 из которых топологически различны. (Усечённая треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)
Like the uniform polyhedra there are eight uniform tilings that can be based from the regular hexagonal tiling (or the dual triangular tiling). Drawing the tiles colored as red on the original faces, yellow at the original vertices, and blue along the original edges, there are 8 forms, 7 which are topologically distinct. (The truncated triangular tiling is topologically identical to the hexagonal tiling.)