Введение
Предварительный порядок на векторах действительных чисел – это специфический вид упорядочивания на векторах действительных чисел. В математике мажоризация является предварительным порядком на векторах действительных чисел. Для двух таких векторов, **x** и **y**, мы говорим, что **x** слабо мажорирует (или доминирует) **y** снизу, что обычно обозначается **x** ≤ **y**, когда
для всех *k*,
где *x<sub>(k)</sub>* обозначает *k*-ю наибольшую компоненту вектора **x**. Если дополнительно **x** = **y**, мы говорим, что **x** мажорирует (или доминирует) **y**, что обычно обозначается **x** ≿ **y**. Мажоризация является частичным порядком для векторов, компоненты которых упорядочены по возрастанию, но лишь предварительным порядком для общих векторов, поскольку мажоризация не учитывает порядок компонент в векторах, например, утверждение **x** ≤ **y** просто эквивалентно **x<sub>(k)</sub>** ≥ **y<sub>(k)</sub>** для всех *k*. Мажоризация также иногда относится к поточечному упорядочиванию, например, функция *f* с действительными значениями мажорирует функцию *g* с действительными значениями, когда *f(x)* ≥ *g(x)* для всех *x* из области определения, или к другим техническим определениям, таким как мажорирующие меры в теории вероятностей.
a specific ordering on real vectors
In mathematics, majorization is a preorder on vectors of real numbers. For two such vectors, , we say that weakly majorizes (or dominates) from below, commonly denoted when
for all ,
where denotes th largest entry of If further satisfy , we say that majorizes (or dominates) , commonly denoted Majorization is a partial order for vectors whose entries are non decreasing, but only a preorder for general vectors, since majorization is agnostic to the ordering of the entries in vectors, e. g., the statement is simply equivalent to
Majorizing also sometimes refers to entrywise ordering, e. g. the real valued function f majorizes the real valued function g when for all in the domain, or other technical definitions, such as majorizing measures in probability theory.
Геометрическое определение
Для нас выполняется, если и только если находится в выпуклом корпусе всех векторов, полученных перестановкой координат вектора . Это эквивалентно утверждению, что для некоторой двукратно стохастической матрицы . В частности, можно представить как выпуклую комбинацию перестановок вектора . На рисунке 1 изображен выпуклый корпус в 2D для вектора . Обратите внимание, что центр выпуклого корпуса, который в этом случае является интервалом, равен вектору . Это "наименьший" вектор, удовлетворяющий для заданного вектора . На рисунке 2 показан выпуклый корпус в 3D. Центр выпуклого корпуса, который в этом случае является 2D-многоугольником, является "наименьшим" вектором, удовлетворяющим для заданного вектора .
Figure 1 displays the convex hull in 2D for the vector Notice that the center of the convex hull, which is an interval in this case, is the vector This is the "smallest" vector satisfying for this given vector Figure 2 shows the convex hull in 3D. The center of the convex hull, which is a 2D polygon in this case, is the "smallest" vector satisfying for this given vector .
Другие определения
Каждое из следующих утверждений истинно тогда и только тогда, когда из можно получить , выполнив конечную последовательность "операций Робин Гуда", где два элемента и заменяются на и , соответственно, для некоторого . Для всех , .
Примеры
Среди неотрицательных векторов с тремя компонентами и их перестановок, любой из них мажоризирует все остальные векторы, такие что... Например, ... мажоризируется всеми остальными такими векторами, поэтому такое поведение распространяется на вероятностные векторы произвольной длины: вектор, имеющий ненулевой компонент только в одной позиции, мажоризирует все остальные вероятностные векторы, а равномерное распределение мажоризируется всеми вероятностными векторами.
This behavior extends to general length probability vectors: the singleton vector majorizes all other probability vectors, and the uniform distribution is majorized by all probability vectors.
Выпуклость Шура
Функция называется шур-выпуклой, когда подразумевает Следовательно, шур-выпуклые функции переводят упорядочение векторов в стандартное упорядочение в Аналогично, функция является шур-вогнутой, когда подразумевает
Примером шур-выпуклой функции является функция максимума. Шур-выпуклые функции обязательно симметричны, то есть значения функции не меняются при перестановке элементов ее аргумента. Поэтому линейные функции, являющиеся выпуклыми, не являются шур-выпуклыми, если они не симметричны. Если функция симметрична и выпукла, то она является шур-выпуклой.
Обобщения
Мажоризация может быть обобщена до упорядочения Лоренца — частичного порядка на функциях распределения. Например, распределение богатства является Лоренц-доминирующим над другим, если его кривая Лоренца лежит ниже кривой другого распределения. Следовательно, распределение богатства, Лоренц-доминирующее, имеет более высокий коэффициент Джини и характеризуется большим неравенством доходов. Предваричный порядок мажоризации может быть естественным образом расширен на матрицы плотности в контексте квантовой информации. В частности, это выполняется тогда и только тогда, когда (где обозначает спектр состояния). Аналогично, можно сказать, что эрмитов оператор , мажоризирует другой оператор , если множество собственных значений мажоризирует множество собственных значений .