Кіріспе
Нақты сандар векторларының преордері
a specific ordering on real vectors
Математикада мажоризация – нақты сандар векторларының преордері болып табылады. Екі вектор үшін , егер барлық үшін , мұнда – векторының ірілеуінің -іншісін білдірсе, онда біз векторының векторын төменнен әлсіз мажоризациялайды (немесе доминациялайды) дейміз, бұл әдетте арқылы белгіленеді. Егер сондай-ақ орындалса, онда біз векторының векторын мажоризациялайды (немесе доминациялайды) дейміз, бұл әдетте арқылы белгіленеді. Мажоризация – элементтері өспейтін векторлар үшін ішінара рет, бірақ жалпы векторлар үшін тек преордер, себебі мажоризация векторлардағы элементтердің ретіне бейтарап. Мысалы, мәлімдеме жай ғана тең. Мажоризация кейде элементтік ретке келтіруді де білдіреді, мысалы, нақты мәнді функция f, нақты мәнді функция g-ні домендегі барлық үшін мажоризациялайды, немесе ықтималдық теориясындағы мажоризация шаралары сияқты басқа техникалық анықтамалар.
for all ,
where denotes th largest entry of If further satisfy , we say that majorizes (or dominates) , commonly denoted Majorization is a partial order for vectors whose entries are non decreasing, but only a preorder for general vectors, since majorization is agnostic to the ordering of the entries in vectors, e. g., the statement is simply equivalent to
Majorizing also sometimes refers to entrywise ordering, e. g. the real valued function f majorizes the real valued function g when for all in the domain, or other technical definitions, such as majorizing measures in probability theory.
Геометриялық анықтамасы
Біздің жағдайымызда, егер және тек егер болса, онда вектор координаттарын ауыстыру арқылы алынған барлық векторлардың дөңгелек қабылдамасында жатады. Бұл, қандай да бір екі рет стохастикалық матрица үшін орындалады деумен бірдей. Атап айтқанда, вектордың дөңгелек қабылдамасының комбинациясы ретінде жазылуы мүмкін. 1-сурет 2D кеңістіктегі дөңгелек қабылдаманы көрсетеді. Осы жағдайда, аралық болатын дөңгелек қабылдаманың ортасы, векторға қанағаттандыратын "ең кіші" вектор болып табылады. 2-сурет 3D кеңістіктегі дөңгелек қабылдаманы көрсетеді. Осы жағдайда, 2D көпбұрыш болатын дөңгелек қабылдаманың ортасы, векторға қанағаттандыратын "ең кіші" вектор болып табылады.
Figure 1 displays the convex hull in 2D for the vector Notice that the center of the convex hull, which is an interval in this case, is the vector This is the "smallest" vector satisfying for this given vector Figure 2 shows the convex hull in 3D. The center of the convex hull, which is a 2D polygon in this case, is the "smallest" vector satisfying for this given vector .
Басқа анықтамалар
Келесі мәлімдемелердің әрқайсысы тек және ғана егер бізден екі элементті және , тиісінше, және ауыстыратын "Робин Гуд операцияларының" шекті тізбегі арқылы шығара алсақ, дұрыс болады. Кез келген үшін, .
Мысалдар
Үш компоненті бар теріс емес векторлардың арасында және оның орналасулары (пермутациялары) басқа барлық векторларды үстемдік етеді, мысалы, сондай-ақ, барлық басқа осындай векторлар оны үстемдік етеді, сондықтан. Бұл қасиет жалпы ұзындығы бар ықтималдық векторларына да қатысты: бір элементті вектор барлық басқа ықтималдық векторларын үстемдік етеді, ал тегіс үлестірім барлық ықтималдық векторларымен үстемдік етіледі.
This behavior extends to general length probability vectors: the singleton vector majorizes all other probability vectors, and the uniform distribution is majorized by all probability vectors.
Шурдың конвективтілігі
Функция егер болса, деп айтылады, сондықтан Шур дөңес функциялары векторлардың ретін бойынша стандартты ретке ауыстырады. Сол сияқты, функция егер болса, деп айтылады, сондықтан ол Шур қуыс функциясы болып табылады.
Шур дөңес функциясының мысалы – максимум функциясы. Шур дөңес функциялары міндетті түрде симметриялы болады, яғни оның аргументтерінің элементтерін функцияның мәнін өзгертпей алмастыруға болады. Сондықтан, дөңес болатын сызықтық функциялар симметриялы болмаса, Шур дөңес емес. Егер функция симметриялы және дөңес болса, онда ол Шур дөңес функциясы болады.
Жалпылау
Мажоризацияны Лоренц ретіне, яғни үлестіру функцияларының ішінара ретіне жалпылауға болады. Мысалы, егер оның Лоренц қисығы екіншісінен төмен жатса, байлықтың үлестірілуі Лоренц бойынша үлкен болады. Осылайша, Лоренц бойынша үлкен байлық үлестірілуі жоғары Гинни коэффициентіне ие және табыстағы теңсіздік жоғары. Мажоризацияның алдын ала ретін кванттық ақпарат контекстінде тығыздық матрицаларына табиғи түрде кеңейтуге болады. Атап айтқанда, дәл қашан (мұндағы белгілеу күйдің спектрін көрсетеді). Сол сияқты, егер Hermitian оператордың өзіндік мәндер жиыны , оператордың өзіндік мәндер жиынын мажоризацияласа, деуге болады.