Введение

Метод вычисления, компьютерные алгоритмы

В элементарной арифметике стандартный алгоритм или метод — это конкретный способ вычисления, который традиционно преподают для решения определенных математических задач. Эти методы несколько различаются в разных странах и в разные времена, но обычно включают перенос, перегруппировку, многозначное деление и многозначное умножение с использованием стандартной записи и стандартных формул для вычисления среднего значения, площади и объема. Подобные методы также существуют для таких операций, как извлечение квадратного корня и даже более сложных функций, но они были исключены из общей школьной программы по математике в пользу калькуляторов (или таблиц и логарифмических линеек, которые использовались ранее). Согласно Фишер и др. (2019), в отношении стандартных алгоритмов в элементарной математике, продвинутые ученики используют стандартные алгоритмы более эффективно, чем их сверстники, которые применяют эти алгоритмы без понимания (Фишер и др., 2020). Ниже описаны стандартные арифметические алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления.

Стандартный алгоритм сложения

Например, с помощью стандартного алгоритма сложения сумму можно получить, следуя трем правилам: а) выровнять цифры каждого слагаемого по разряду, при этом слагаемое с большим количеством цифр должно быть записано сверху, б) каждое слагаемое можно разложить, складывая единицы с единицами, десятки с десятками и так далее, и в) если сумма цифр в текущем разряде равна десяти или больше, то необходимо выполнить перенос.

Стандартный алгоритм вычитания

Для стандартного алгоритма вычитания первое число называется уменьшаемым, а второе число – вычитаемым. Что касается правил этого алгоритма, то разряды чисел должны быть выровнены. Затем необходимо определить, требуется ли заимствование или разряд. Далее, можно обрабатывать каждый столбец разрядов отдельно, выполняя заимствование и вычитание по мере продвижения, либо сначала проверить все возможные случаи заимствования, а затем выполнить все вычитания. (Achieve The Core, nd)

Стандартный алгоритм умножения

Основные правила стандартного алгоритма умножения целых чисел следующие. В этой процедуре умножения "умножьте подыгрываемое число на каждую цифру умножителя, а затем сложите все правильно сдвинутые результаты" (West, 2011). Для использования этого метода необходимо знать базовую таблицу умножения от нуля до девяти (West, 2007). Частное (округленное в меньшую сторону до ближайшего целого числа) становится первой цифрой результата. В этом процессе максимальная цифра приближается к виртуальному произведению (Leung, 2006), которое должно быть меньше старших разрядов делимого. В свою очередь, разница между старшими разрядами и виртуальным произведением, или остаток, переносится при повторении процесса со следующей цифрой делимого ("опускаем" следующую цифру к остатку) (Leung, 2006). Когда все цифры обработаны и остаток отсутствует или остаток меньше делителя, деление завершено.

Реформа математики и стандартных алгоритмов в школах

Концепции реформы математики, представленные NCTM в 1989 году, поддерживают альтернативный подход. Они предлагают, что более глубокое понимание лежащей в основе теории, в отличие от запоминания конкретных методов, позволит учащимся разрабатывать собственные способы решения одних и тех же задач. Альтернативные алгоритмы, используемые учащимися, зачастую столь же верны, эффективны и универсальны, как и стандартные, и при этом сохраняют акцент на смысле задействованных величин, особенно в отношении разрядной системы счисления (что обычно теряется при механическом заучивании стандартных алгоритмов). Развитие сложных калькуляторов снизило важность ручных вычислений (см. примечание о квадратных корнях выше), а поверхностное преподавание традиционных методов привело к неуспеваемости у многих учащихся. Повышение успеваемости среди всех категорий учащихся является одной из главных целей математического образования, сформулированных NCTM. Некоторые исследователи, такие как Констанс Ками, полагают, что традиционно преподавание элементарной арифметики нецелесообразно в начальной школе. Многие первые издания учебников, разработанные в соответствии с оригинальным стандартом 1989 года, например, TERC, намеренно избегали акцента на конкретных методах, вместо этого уделяя время на уроках и домашних заданиях решению сложных задач, стимулирующих учащихся к разработке собственных методов вычисления, основанных на чувстве числа и понимании разрядной системы. Этот подход ни в коем случае не исключает изучение числовых фактов; напротив, одной из основных целей раннего математического образования является развитие вычислительной грамотности. В более поздних редакциях NCTM более четко подчеркнула необходимость изучения основных математических фактов и освоения правильных, эффективных методов. Многие новые издания учебников, соответствующих стандартам, действительно представляют стандартные методы и базовые навыки. Однако первоначальные рекомендации по-прежнему вызывают критику со стороны неравнодушных родителей и членов сообщества, некоторые из которых выступают за возвращение к традиционной математике. Успех конкретного учебника зависит не только от его содержания, но и от готовности школьного сообщества принять новые педагогические подходы и содержание, а также придерживаться рекомендуемой стратегии внедрения материалов.