Гармонический ряд и тембр звука

Введение

Последовательность частот

Гармонический ряд (также обертоновый ряд) — это последовательность гармоник, музыкальных тонов или чистых тонов, частота которых является целым кратным основной частоты. Музыкальные инструменты с определенной высотой звука часто основаны на акустическом резонаторе, таком как струна или воздушный столб, который одновременно колеблется в множестве модов. На частотах каждого колеблющегося мода волны распространяются в обоих направлениях вдоль струны или воздушного столбa, усиливая и ослабляя друг друга, формируя стоячие волны. Взаимодействие с окружающим воздухом создает слышимые звуковые волны, которые распространяются от инструмента. В силу типичного расположения резонансов, эти частоты в основном ограничены целыми кратными, или гармониками, самой низкой частоты, и эти кратные образуют гармонический ряд. Музыкальная высота ноты обычно воспринимается как самая низкая обертоновая составляющая (основная частота), которая может быть создана колебанием по всей длине струны или воздушного столбa, либо более высокой гармонией, выбранной исполнителем. Музыкальный тембр устойчивого тона такого инструмента в значительной степени определяется относительной силой каждой гармоники.

Частичный, гармонический, фундаментальный, дисгармонический и овертон

"Комплексный тон" (звук ноты с тембром, свойственным инструменту, извлекающему эту ноту) "можно описать как комбинацию множества простых периодических волн (то есть синусоидальных волн) или парциальных тонов, каждый из которых имеет свою частоту колебаний, амплитуду и фазу". (См. также анализ Фурье.) Парциальный тон – это любая из синусоидальных волн (или "простых тонов", как их называет Эллис при переводе Гельмгольца), составляющих комплексный тон, необязательно кратная самой низкой гармонике. Гармоника – это любой член гармонического ряда, идеальный набор частот, являющихся положительными целыми кратными общей основной частоты. Основной тон является гармоникой, поскольку он равен единице, умноженной на себя. Гармонический парциальный тон – это любой реальный парциальный компонент комплексного тона, соответствующий (или почти соответствующий) идеальной гармонике. Ингармонический парциальный тон – это любой парциальный тон, не соответствующий идеальной гармонике. Ингармоничность – это мера отклонения парциального тона от ближайшей идеальной гармоники, обычно измеряемая в центах для каждого парциального тона. Многие акустические инструменты с определенной высотой звука сконструированы таким образом, чтобы их парциальные тона были близки к целочисленным отношениям с очень низкой ингармоничностью; поэтому в теории музыки и при разработке инструментов удобно, хотя и не совсем точно, говорить о парциальных тонах этих инструментов как о "гармониках", даже если они могут иметь некоторую степень ингармоничности. Фортепиано, один из важнейших инструментов западной традиции, содержит определенную степень ингармоничности среди частот, генерируемых каждой струной. Другие инструменты с определенной высотой звука, особенно некоторые ударные инструменты, такие как маримба, вибрафон, трубчатые колокола, литавры и поющие чаши, содержат преимущественно ингармонические парциальные тона, но могут создавать у слуха хорошее ощущение высоты благодаря нескольким сильным парциальным тонам, напоминающим гармоники. Инструменты без определенной высоты звука, или с неопределенной высотой, такие как тарелки и тамы, издают звуки (создают спектры), богатые ингармоническими парциальными тонами и могут не создавать впечатления о какой-либо определенной высоте. Обертон – это любой парциальный тон выше самого низкого парциального тона. Термин "обертон" не подразумевает гармоничность или ингармоничность и не имеет другого специального значения, кроме исключения основного тона. В основном именно относительная сила различных обертонов придает инструменту его особый тембр, окраску тона или характер. При записи или обсуждении обертонов и парциальных тонов в числовом виде необходимо проявлять осторожность, чтобы правильно обозначать каждый из них, чтобы избежать путаницы между ними, поэтому второй обертон может быть не третьим парциальным тоном, поскольку это второй звук в ряду. Некоторые электронные инструменты, такие как синтезаторы, могут воспроизводить чистую частоту без обертонов (синусоидальную волну). Синтезаторы также могут комбинировать чистые частоты в более сложные тона, например, для имитации других инструментов. Некоторые флейты и окарины практически лишены обертонов.

A "complex tone" (the sound of a note with a timbre particular to the instrument playing the note) "can be described as a combination of many simple periodic waves (i. e., sine waves) or partials, each with its own frequency of vibration, amplitude, and phase". (See also, Fourier analysis.) A partial is any of the sine waves (or "simple tones", as Ellis calls them when translating Helmholtz) of which a complex tone is composed, not necessarily with an integer multiple of the lowest harmonic. A harmonic is any member of the harmonic series, an ideal set of frequencies that are positive integer multiples of a common fundamental frequency. The fundamental is a harmonic because it is one times itself. A harmonic partial is any real partial component of a complex tone that matches (or nearly matches) an ideal harmonic. An inharmonic partial is any partial that does not match an ideal harmonic. Inharmonicity is a measure of the deviation of a partial from the closest ideal harmonic, typically measured in cents for each partial. Many pitched acoustic instruments are designed to have partials that are close to being whole number ratios with very low inharmonicity; therefore, in music theory, and in instrument design, it is convenient, although not strictly accurate, to speak of the partials in those instruments' sounds as "harmonics", even though they may have some degree of inharmonicity. The piano, one of the most important instruments of western tradition, contains a certain degree of inharmonicity among the frequencies generated by each string. Other pitched instruments, especially certain percussion instruments, such as marimba, vibraphone, tubular bells, timpani, and singing bowls contain mostly inharmonic partials, yet may give the ear a good sense of pitch because of a few strong partials that resemble harmonics. Unpitched, or indefinite pitched instruments, such as cymbals and tam tams make sounds (produce spectra) that are rich in inharmonic partials and may give no impression of implying any particular pitch. An overtone is any partial above the lowest partial. The term overtone does not imply harmonicity or inharmonicity and has no other special meaning other than to exclude the fundamental. It is mostly the relative strength of the different overtones that give an instrument its particular timbre, tone color, or character. When writing or speaking of overtones and partials numerically, care must be taken to designate each correctly to avoid any confusion of one for the other, so the second overtone may not be the third partial, because it is the second sound in a series. Some electronic instruments, such as synthesizers, can play a pure frequency with no overtones (a sine wave). Synthesizers can also combine pure frequencies into more complex tones, such as to simulate other instruments. Certain flutes and ocarinas are very nearly without overtones.

Частоты, длины волн и музыкальные интервалы в примерах систем

Один из самых простых случаев для визуализации – вибрирующая струна, как показано на иллюстрации; струна имеет фиксированные точки на каждом конце, и каждый гармонический режим делит её на целое число (1, 2, 3, 4 и т. д.) равных по размеру секций, резонирующих на всё более высоких частотах. Аналогичные рассуждения применимы к вибрирующим воздушным столбам в духовых инструментах (например, «французский рог изначально был безклапанным инструментом, который мог воспроизводить только ноты гармонического ряда»), хотя они усложняются возможностью наличия антиузлов (то есть воздушный столб закрыт на одном конце и открыт на другом), конического, а не цилиндрического канала, или отверстий, варьирующихся от отсутствия раструба до конического или экспоненциально расширяющегося раструба (как в различных колоколах). В большинстве музыкальных инструментов основной тон (первый гармонический) сопровождается другими, более высокими по частоте гармониками. Таким образом, волны с более короткой длиной и более высокой частотой возникают с разной интенсивностью и придают каждому инструменту его характерное тембральное качество. Тот факт, что струна закреплена на обоих концах, означает, что самая длинная допустимая длина волны на струне (которая определяет фундаментальную частоту) в два раза превышает длину струны (один полный цикл, с полуволной, умещающейся между узлами на обоих концах). Другие допустимые длины волн являются обратными кратными (например, 1/2, 1/3, 1/4) длины основного тона. Теоретически, эти более короткие длины волн соответствуют колебаниям на частотах, которые являются целыми кратными (например, 2, 3, 4 раза) основной частоты. Физические характеристики вибрирующей среды и/или резонатора, против которого она вибрирует, часто изменяют эти частоты. (См. негармоничность и растянутый строй для изменений, специфичных для струнных инструментов и некоторых электропианино.) Однако эти изменения незначительны, и, за исключением точной, высокоспециализированной настройки, разумно рассматривать частоты гармонического ряда как целые кратные основной частоты. Гармонический ряд представляет собой арифметическую прогрессию (f, 2f, 3f, 4f, 5f…). С точки зрения частоты (измеряемой в циклах в секунду, или в герцах, где f – основная частота), разница между последовательными гармониками, следовательно, постоянна и равна основной частоте. Но поскольку человеческое ухо реагирует на звук нелинейно, более высокие гармоники воспринимаются как «более близкие друг к другу», чем более низкие. С другой стороны, октавный ряд представляет собой геометрическую прогрессию (2f, 4f, 8f, 16f…), и люди воспринимают эти интервалы как «одинаковые» в смысле музыкального интервала. С точки зрения того, что слышится, каждая октава в гармоническом ряду делится на всё более «малые» и многочисленные интервалы. Вторая гармоника, частота которой вдвое превышает основную, звучит на октаву выше; третья гармоника, частота которой в три раза превышает основную, звучит на чистую квинту выше второй гармоники. Четвертая гармоника вибрирует с частотой в четыре раза превышающей основную и звучит на чистую кварту выше третьей гармоники (две октавы выше основной). Удвоение номера гармоники означает удвоение частоты (что звучит на октаву выше). Марен Мерсенн писал: «Порядок консонансов естественен, и способ их счета, начиная с единицы до числа шесть и далее, основан на природе». Однако, цитируя Карла Дальхауса, «интервальное расстояние натурального тонального ряда [обертонов] [ ], насчитывающее до 20, включает в себя всё от октавы до четверти тона, (и) полезные и бесполезные музыкальные тоны. Натуральный тональный ряд [гармонический ряд] оправдывает всё, то есть, ничего».

One of the simplest cases to visualise is a vibrating string, as in the illustration; the string has fixed points at each end, and each harmonic mode divides it into an integer number (1, 2, 3, 4, etc.) of equal sized sections resonating at increasingly higher frequencies. Similar arguments apply to vibrating air columns in wind instruments (for example, "the French horn was originally a valveless instrument that could play only the notes of the harmonic series"), although these are complicated by having the possibility of anti nodes (that is, the air column is closed at one end and open at the other), conical as opposed to cylindrical bores, or end openings that run the gamut from no flare, cone flare, or exponentially shaped flares (such as in various bells). In most pitched musical instruments, the fundamental (first harmonic) is accompanied by other, higher frequency harmonics. Thus shorter wavelength, higher frequency waves occur with varying prominence and give each instrument its characteristic tone quality. The fact that a string is fixed at each end means that the longest allowed wavelength on the string (which gives the fundamental frequency) is twice the length of the string (one round trip, with a half cycle fitting between the nodes at the two ends). Other allowed wavelengths are reciprocal multiples (e. g. 1/2, 1/3, 1/4 times) that of the fundamental. Theoretically, these shorter wavelengths correspond to vibrations at frequencies that are integer multiples of (e. g. 2, 3, 4 times) the fundamental frequency. Physical characteristics of the vibrating medium and/or the resonator it vibrates against often alter these frequencies. (See inharmonicity and stretched tuning for alterations specific to wire stringed instruments and certain electric pianos.) However, those alterations are small, and except for precise, highly specialized tuning, it is reasonable to think of the frequencies of the harmonic series as integer multiples of the fundamental frequency. The harmonic series is an arithmetic progression (f, 2f, 3f, 4f, 5f, ). In terms of frequency (measured in cycles per second, or hertz, where f is the fundamental frequency), the difference between consecutive harmonics is therefore constant and equal to the fundamental. But because human ears respond to sound nonlinearly, higher harmonics are perceived as "closer together" than lower ones. On the other hand, the octave series is a geometric progression (2f, 4f, 8f, 16f, ), and people perceive these distances as "the same" in the sense of musical interval. In terms of what one hears, each octave in the harmonic series is divided into increasingly "smaller" and more numerous intervals. The second harmonic, whose frequency is twice the fundamental, sounds an octave higher; the third harmonic, three times the frequency of the fundamental, sounds a perfect fifth above the second harmonic. The fourth harmonic vibrates at four times the frequency of the fundamental and sounds a perfect fourth above the third harmonic (two octaves above the fundamental). Double the harmonic number means double the frequency (which sounds an octave higher). Marin Mersenne wrote: "The order of the Consonances is natural, and the way we count them, starting from unity up to the number six and beyond is founded in nature." However, to quote Carl Dahlhaus, "the interval distance of the natural tone row [overtones] [ ], counting up to 20, includes everything from the octave to the quarter tone, (and) useful and useless musical tones. The natural tone row [harmonic series] justifies everything, that means, nothing."

Гармоники и настройка

Если гармоники смещены на октаву и сжаты в диапазон одной октавы, некоторые из них приближаются к нотам того, что в западной музыке принято считать хроматической шкалой, основанной на фундаментальном тоне. Западная хроматическая шкала была модифицирована до двенадцати равных полутонов, что незначительно расходится со многими гармониками, особенно с 7-й, 11-й и 13-й. В конце 1930-х годов композитор Пол Хиндемит ранжировал музыкальные интервалы в соответствии с их относительным диссонансом, основываясь на этих и подобных гармонических соотношениях. Ниже приведено сравнение первых 31 гармоники с интервалами двенадцатитоновой равной темперации (12TET), смещенными на октаву и сжатыми в диапазон одной октавы. Закрашенные поля выделяют различия, превышающие 5 центов (1/20 полутона), что является "минимально различимой разницей" для человеческого уха при последовательном воспроизведении нот (меньшие различия заметны при одновременном воспроизведении). Гармонический интервал в виде отношения Интервал в бинарном виде 12TET интервал Нота Различие в центах 1 2 4 8 16 1, 2 1 прима (октава) C 0 17 17/16 (1.0625) 1.0001 малая секунда C, D +5 9 18 9/8 (1.125) 1.001 большая секунда D +4 19 19/16 (1.1875) 1.0011 малая терция D, E −2 5 10 20 5/4 (1.25) 1.01 большая терция E −14 21 21/16 (1.3125) 1.0101 кварта F −29 11 22 11/8 (1.375) 1.011 тритон F, G −49 23/16 (1.4375) 1.0111 +28 3 6 12 24 3/2 (1.5) 1.1 квинта G +2 25/16 (1.5625) 1.1001 малая секста G, A −27 13 26/8 (1.625) 1.101 +41 27/16 (1.6875) 1.1011 большая секста A +6 7 14 28 7/4 (1.75) 1.11 малая септима A, B −31 29/16 (1.8125) 1.1101 +30 15 30 15/8 (1.875) 1.111 большая септима B −12 31/16 (1.9375) 1.1111 +45

Частоты гармонического ряда, будучи целочисленными кратами основной частоты, естественным образом связаны друг с другом простыми числовыми отношениями, и именно эти простые отношения, вероятно, лежат в основе консонанса музыкальных интервалов (см. чистую интонацию). Эта объективная структура дополняется психоакустическими явлениями. Например, совершенная квинта, скажем, 200 и 300 Гц (циклов в секунду), заставляет слушателя воспринимать комбинационный тон 100 Гц (разница между 300 Гц и 200 Гц), то есть октавой ниже нижней (фактически звучащей) ноты. Этот комбинационный тон первого порядка 100 Гц затем взаимодействует с обеими нотами интервала, создавая комбинационные тоны второго порядка 200 (300 - 100) и 100 (200 - 100) Гц, и все последующие комбинационные тоны n-го порядка формируются аналогичным образом, путем вычитания 100, 200 и 300. Если сопоставить это с диссонирующим интервалом, таким как тритон (не закаленный) с частотным отношением 7:5, то получим, например, 700 - 500 = 200 (комбинационный тон первого порядка) и 500 - 200 = 300 (второго порядка). Остальные комбинационные тоны являются октавами 100 Гц, поэтому интервал 7:5 фактически содержит четыре ноты: 100 Гц (и его октавы), 300 Гц, 500 Гц и 700 Гц. Самый низкий комбинационный тон (100 Гц) находится на большую септиму (две октавы и большую терцию) ниже нижней (фактически звучащей) ноты тритона. Все интервалы поддаются аналогичному анализу, как продемонстрировал Пол Хиндемит в своей книге «Мастерство музыкальной композиции», хотя он отверг использование гармоник седьмого порядка и выше. В этой книге сила, консонанс или стабильность интервала (см. консонанс и диссонанс) определяется его приближением к более низкому и сильному или более высокому и слабому положению в гармоническом ряду. См. также: Закон Липпса-Майера. Таким образом, равная темпераментная квинта сильнее, чем равная темпераментная малая терция, поскольку они приближаются к чистой квинте и чистой малой терции соответственно. Чистая малая терция находится между 5-й и 6-й гармониками, а чистая квинта – ниже, между 2-й и 3-й.

The frequencies of the harmonic series, being integer multiples of the fundamental frequency, are naturally related to each other by whole numbered ratios and small whole numbered ratios are likely the basis of the consonance of musical intervals (see just intonation). This objective structure is augmented by psychoacoustic phenomena. For example, a perfect fifth, say 200 and 300 Hz (cycles per second), causes a listener to perceive a combination tone of 100 Hz (the difference between 300 Hz and 200 Hz); that is, an octave below the lower (actual sounding) note. This 100 Hz first order combination tone then interacts with both notes of the interval to produce second order combination tones of 200 (300 − 100) and 100 (200 − 100) Hz and all further nth order combination tones are all the same, being formed from various subtraction of 100, 200, and 300. When one contrasts this with a dissonant interval such as a tritone (not tempered) with a frequency ratio of 7:5 one gets, for example, 700 − 500 = 200 (1st order combination tone) and 500 − 200 = 300 (2nd order). The rest of the combination tones are octaves of 100 Hz so the 7:5 interval actually contains four notes: 100 Hz (and its octaves), 300 Hz, 500 Hz and 700 Hz. The lowest combination tone (100 Hz) is a seventeenth (two octaves and a major third) below the lower (actual sounding) note of the tritone. All the intervals succumb to similar analysis as has been demonstrated by Paul Hindemith in his book The Craft of Musical Composition, although he rejected the use of harmonics from the seventh and beyond. in which an interval's strength, consonance, or stability (see consonance and dissonance) is determined by its approximation to a lower and stronger, or higher and weaker, position in the harmonic series. See also: Lipps–Meyer law. Thus, an equal tempered perfect fifth is stronger than an equal tempered minor third , since they approximate a just perfect fifth and just minor third , respectively. The just minor third appears between harmonics 5 and 6 while the just fifth appears lower, between harmonics 2 and 3.