Модельные категории: слабые эквивалентности, фибрации и кофибрации.

Введение

Математическая категория со слабыми эквивалентностями, фибрациями и кофибрациями. В математике, особенно в теории гомотопий, модельная категория — это категория с выделенными классами морфизмов («стрелками»), называемыми «слабыми эквивалентностями», «фибрациями» и «кофибрациями», удовлетворяющими определенным аксиомам, связывающим их. Они обобщают категорию топологических пространств или цепных комплексов (теория производных категорий). В последние десятилетия язык модельных категорий использовался в некоторых разделах алгебраической K-теории и алгебраической геометрии, где гомотопически-теоретические подходы привели к глубоким результатам.

Мотивация

Категории моделей могут предоставить естественную среду для теории гомотопии: категория топологических пространств является моделью категории, где гомотопия соответствует обычной теории. Аналогично, объекты, которые рассматриваются как пространства, часто допускают структуру модельной категории, например, категория симплициальных множеств. Другой моделью категории является категория цепных комплексов R-модулей для коммутативного кольца R. Теория гомотопии в этом контексте — гомологическая алгебра. Гомологию можно рассматривать как разновидность гомотопии, что позволяет обобщать гомологию на другие объекты, такие как группы и R-алгебры, что является одним из первых важных применений теории. В связи с вышеупомянутым примером, касающимся гомологии, изучение замкнутых модельных категорий иногда рассматривается как гомотопическая алгебра.

Первые последствия определения

Аксиомы подразумевают, что любые два из трех классов отображений определяют третий (например, кофибрации и слабые эквивалентности определяют фибрации). Также определение самодвойственно: если C — модельная категория, то её противоположная категория также допускает модельную структуру, при которой слабые эквивалентности соответствуют своим противоположностям, фибрации — противоположностям кофибраций, а кофибрации — противоположностям фибраций.

Топологические пространства

Категория топологических пространств, Top, допускает стандартную структуру модели категории с обычными (Serre) фибрациями и слабыми эквивалентностями, являющимися слабыми эквивалентностями гомотопии. Кофибрации – это не общепринятое понятие в данном контексте, а более узкий класс отображений, обладающих левым поднимающим свойством относительно ациклических фибраций Серре. Эквивалентно, они являются отступлениями относительных клеточных комплексов, как описано, например, в книге Хови «Модельные категории». Эта структура не единственна; в общем случае, для данной категории может существовать множество структур модели категории. Для категории топологических пространств другая такая структура задается фибрациями Гуревича и стандартными кофибрациями, а слабые эквивалентности – (сильными) эквивалентностями гомотопии.

Другие примеры

Другие примеры категорий, допускающих модельные структуры, включают категорию всех малых категорий, категорию симплициальных множеств или симплициальных предпучков на любом малом сайте Гротендика, категорию топологических спектров и категории симплициальных спектров или предпучков симплициальных спектров на малом сайте Гротендика. Симплициальные объекты в категории часто являются источником модельных категорий; например, симплициальные коммутативные кольца или симплициальные R-модули допускают естественные модельные структуры. Это следует из того, что существует сопряжение между симплициальными множествами и симплициальными коммутативными кольцами (заданное забывчивыми и свободными функторами), и в благоприятных случаях можно переносить модельные структуры посредством сопряжения. Симплициальная модельная категория – это симплициальная категория с модельной структурой, совместимой с симплициальной структурой. Для любой категории C и модельной категории M, при определенных дополнительных гипотезах категория функторов Fun(C, M) (также называемая C-диаграммами в M) также является модельной категорией. Фактически, всегда существует два кандидата на различные модельные структуры: в одной, так называемой проективной модельной структуре, фибрации и слабые эквивалентности – это те отображения функторов, которые являются фибрациями и слабыми эквивалентностями при оценке на каждом объекте C. Двойственно, инъективная модельная структура аналогична, но с кофибрациями и слабыми эквивалентностями. В обоих случаях третий класс морфизмов задается условием подъема (см. ниже). В некоторых случаях, когда категория C является категорией Риди, существует третья модельная структура, лежащая между проективной и инъективной. Процесс принудительного превращения определенных отображений в слабые эквивалентности в новой модельной структуре на той же базовой категории известен как локализация Бусфилда. Например, категория симплициальных пучков может быть получена как локализация Бусфилда модельной категории симплициальных предпучков. Денис Шарль Сисински разработал общую теорию модельных структур на предкатегориях (обобщая симплициальные множества, которые являются предпучками на симплексной категории). Если C является модельной категорией, то и категория Pro(C) прообъектов в C также является модельной категорией. Однако модельная структура на Pro(C) также может быть построена путем наложения более слабого набора аксиом на C.

Other examples of categories admitting model structures include the category of all small categories, the category of simplicial sets or simplicial presheaves on any small Grothendieck site, the category of topological spectra, and the categories of simplicial spectra or presheaves of simplicial spectra on a small Grothendieck site. Simplicial objects in a category are a frequent source of model categories; for instance, simplicial commutative rings or simplicial R modules admit natural model structures. This follows because there is an adjunction between simplicial sets and simplicial commutative rings (given by the forgetful and free functors), and in nice cases one can lift model structures under an adjunction. A simplicial model category is a simplicial category with a model structure that is compatible with the simplicial structure. Given any category C and a model category M, under certain extra hypothesis the category of functors Fun (C, M) (also called C diagrams in M) is also a model category. In fact, there are always two candidates for distinct model structures: in one, the so called projective model structure, fibrations and weak equivalences are those maps of functors which are fibrations and weak equivalences when evaluated at each object of C. Dually, the injective model structure is similar with cofibrations and weak equivalences instead. In both cases the third class of morphisms is given by a lifting condition (see below). In some cases, when the category C is a Reedy category, there is a third model structure lying in between the projective and injective. The process of forcing certain maps to become weak equivalences in a new model category structure on the same underlying category is known as Bousfield localization. For example, the category of simplicial sheaves can be obtained as a Bousfield localization of the model category of simplicial presheaves. Denis Charles Cisinski has developed a general theory of model structures on presheaf categories (generalizing simplicial sets, which are presheaves on the simplex category). If C is a model category, then so is the category Pro(C) of pro objects in C. However, a model structure on Pro(C) can also be constructed by imposing a weaker set of axioms to C.

Некоторые сооружения

Каждая замкнутая модельная категория имеет терминальный объект по полноте и начальный объект по сополноте, поскольку эти объекты являются пределом и колимитом, соответственно, пустой диаграммы. Если единственное отображение из начального объекта в объект X является кофибрацией, то X называется кофибративным. Аналогично, если единственное отображение из X в терминальный объект является фибрацией, то X называется фибративным. Если Z и X – объекты модельной категории, такие что Z кофибративен, и существует слабая эквивалентность из Z в X, то Z называется кофибративным замещением для X. Аналогично, если Z фибративен и существует слабая эквивалентность из X в Z, то Z называется фибративным замещением для X. В общем случае, не все объекты являются фибративными или кофибративными, хотя такое иногда бывает. Например, все объекты кофибративны в стандартной модельной категории симплициальных множеств, и все объекты фибративны для стандартной структуры модельной категории, заданной выше для топологических пространств. Левая гомотопия определяется относительно цилиндрических объектов, а правая гомотопия – относительно объектов пространства путей. Эти понятия совпадают, когда область определения кофибративна, а область значений – фибративна. В этом случае гомотопия определяет отношение эквивалентности на множествах гомоморфизмов в модельной категории, порождая классы гомотопии.

Характеристика фибраций и кофибраций по подъемным свойствам

Кофибрации можно охарактеризовать как отображения, обладающие левым свойством подъемности относительно ациклических фибраций, а ациклические кофибрации характеризуются как отображения, обладающие левым свойством подъемности относительно фибраций. Аналогично, фибрации можно охарактеризовать как отображения, обладающие правым свойством подъемности относительно ациклических кофибраций, а ациклические фибрации характеризуются как отображения, обладающие правым свойством подъемности относительно кофибраций.

Гомотопия и категория гомотопии

Гомотопическая категория категории модели C — это локализация C относительно класса слабых эквивалентностей. Это определение гомотопической категории не зависит от выбора фибраций и кофибраций. Однако классы фибраций и кофибраций полезны для описания гомотопической категории другим способом и, в частности, для избежания вопросов теории множеств, возникающих при общих локализациях категорий. Более точно, "фундаментальная теорема модельных категорий" утверждает, что гомотопическая категория C эквивалентна категории, объектами которой являются объекты C, являющиеся одновременно фибрантными и кофибрантными, а морфизмами — левые классы гомотопии отображений (эквивалентно, правые классы гомотопии отображений), как определено выше. (См., например, "Категории моделей" Хови, теорема 1.2.10). Применяя это к категории топологических пространств с заданной выше структурой модели, получающаяся гомотопическая категория эквивалентна категории CW-комплексов и классов гомотопии непрерывных отображений, отсюда и название.