Введение
Генераторы алгебры Клиффорда для релятивистской квантовой механики В математической физике гамма-матрицы, также называемые матрицами Дирака, представляют собой набор обычных матриц со специфическими антикоммутационными отношениями, которые обеспечивают генерацию матричного представления алгебры Клиффорда. Также можно определить более высокомерные гамма-матрицы. Когда интерпретируются как матрицы действия набора ортогональных базовых векторов для контравариантных векторов в пространстве Минковского, векторы колонны, на которых действуют матрицы, становятся пространством спиноров, на которых действует алгебра пространства-времени Клиффорда. Это, в свою очередь, позволяет представлять бесконечно малые пространственные вращения и усиливания Лоренца. Спиноры облегчают расчеты пространства-времени в целом, и в частности являются фундаментальными для уравнения Дирака для релятивистских спиновых частиц. Гамма-матрицы были введены Полом Дираком в 1928 году. В представлении Дирака четыре контравариантные гамма-матрицы - это время, как, матрица Гермита. Остальные три - это космические, анти-гермитийские матрицы. Более компактно, где обозначает произведение Кронекера, а (для) обозначает матрицы Паули. Кроме того, для обсуждения теории групп матрица идентичности (I) иногда включается в четыре гамма-матрицы, и есть вспомогательная, "пятая" бесследная матрица, используемая в сочетании с регулярными гамма-матрицами. "Пятая матрица" не является надлежащим членом основного множества из четырех; она используется для разделения номинальных левых и правых хиральных представлений. Гамма-матрицы имеют групповую структуру, гамма-группу, которая разделяется всеми матричными представлениями группы, в любом измерении, для любой подписи метрики. Например, матрицы 2×2 Паули - это множество "гамма" матриц в трехмерном пространстве с метрикой Евклидовой подписи (3, 0). В пяти пространственно-временных измерениях четыре гаммы, приведенные выше, вместе с пятой гамма-матрицей, представленной ниже, генерируют алгебру Клиффорда.
In mathematical physics, the gamma matrices, also called the Dirac matrices, are a set of conventional matrices with specific anticommutation relations that ensure they generate a matrix representation of the Clifford algebra It is also possible to define higher dimensional gamma matrices. When interpreted as the matrices of the action of a set of orthogonal basis vectors for contravariant vectors in Minkowski space, the column vectors on which the matrices act become a space of spinors, on which the Clifford algebra of spacetime acts. This in turn makes it possible to represent infinitesimal spatial rotations and Lorentz boosts. Spinors facilitate spacetime computations in general, and in particular are fundamental to the Dirac equation for relativistic spin particles. Gamma matrices were introduced by Paul Dirac in 1928. In Dirac representation, the four contravariant gamma matrices are
is the time like, Hermitian matrix. The other three are space like, anti Hermitian matrices. More compactly, and where denotes the Kronecker product and the (for ) denote the Pauli matrices. In addition, for discussions of group theory the identity matrix (I) is sometimes included with the four gamma matricies, and there is an auxiliary, "fifth" traceless matrix used in conjunction with the regular gamma matrices
The "fifth matrix" is not a proper member of the main set of four; it is used for separating nominal left and right chiral representations. The gamma matrices have a group structure, the gamma group, that is shared by all matrix representations of the group, in any dimension, for any signature of the metric. For example, the 2×2 Pauli matrices are a set of "gamma" matrices in three dimensional space with metric of Euclidean signature (3, 0). In five spacetime dimensions, the four gammas, above, together with the fifth gamma matrix to be presented below generate the Clifford algebra.
Пять измерений
Алгебра Клиффорда в нечетных измерениях ведет себя как две копии алгебры Клиффорда с одним меньшим измерением, левая копия и правая копия. Таким образом, можно использовать немного трюка, чтобы переназначить как один из генераторов Clifford алгебры в пяти измерениях. В этом случае множество, следовательно, по двум последним свойствам (учитывая, что ) и свойствам old гамм, составляет основу алгебры Клиффорда в 5 пространственно-временных измерениях для метрической подписи (1,4). В метрической подписи (4,1) используется множество {γ^(0), γ^(1), γ^(2), γ^(3), γ^(5)), где γ^(μ) являются подходящими для подписи (3,1). Эта модель повторяется для пространства-времени четного измерения 2n и следующего нечетного измерения 2n + 1 для всех n ≥ 1. Более подробно см. Высшие размерные гамма-матрицы.
Личности
Следующие идентичности вытекают из фундаментальной антикоммутационной связи, поэтому они имеют силу на любой основе (хотя последняя зависит от выбора знака для).
Матрицы Евклида Дирака
В квантовой теории поля можно поворачивать ось времени, чтобы перейти из пространства Минковского в Евклидово пространство. Это особенно полезно в некоторых процедурах ренормирования, а также в теории решетчатого калибра. В Евклидовом пространстве существует два широко используемых представления матриц Дирака: