Введение
Тип геометрии В математике, геометрия Клейна - это тип геометрии, мотивированный Феликсом Клейном в его влиятельной программе Эрлангена. Более конкретно, это однородное пространство X вместе с транзитивным действием на X группой Лей G, которая действует как группа симметрии геометрии. Подробнее о программе и мотивации читайте в статье о программе в Эрлангене.
In mathematics, a Klein geometry is a type of geometry motivated by Felix Klein in his influential Erlangen program. More specifically, it is a homogeneous space X together with a transitive action on X by a Lie group G, which acts as the symmetry group of the geometry. For background and motivation see the article on the Erlangen program.
Описание пакета
При наличии группы Лей G и закрытой подгруппы H, существует естественное правое действие H на G, данное правом умножением. Это действие свободное и правильное. Орбиты - это просто левые косеты H в G. Можно сделать вывод, что G имеет структуру гладкого основного H-пакета над левым пространством косетов G/H:
Эффективные геометрии
Действие G на 1=X = G/H не обязательно должно быть эффективным. Ядро геометрии Клейна определяется как ядро действия G на X. Ядро K также может быть описано как ядро H в G (т. е. самая большая подгруппа H, которая нормальна в G). Это группа, генерируемая всеми нормальными подгруппами G, которые лежат в H. Геометрия Клейна, как говорят, эффективна, если 1=K = 1 и локально эффективна, если K дискретна. Если (G, H) является геометрией Клейна с ядром K, то (G/K, H/K) является эффективной геометрией Клейна, канонически связанной с (G, H).
The kernel K may also be described as the core of H in G (i. e. the largest subgroup of H that is normal in G). It is the group generated by all the normal subgroups of G that lie in H.
A Klein geometry is said to be effective if 1=K = 1 and locally effective if K is discrete. If (G, H) is a Klein geometry with kernel K, then (G/K, H/K) is an effective Klein geometry canonically associated to (G, H).
Геометрически ориентированные геометрии
Геометрия Клейна (G, H) геометрически ориентирована, если G соединена. (Это не означает, что G/H является ориентированным коллектором). Если H соединен, то следует, что G также соединен (это потому, что G/H считается соединенным, а G → G/H является фибрацией). При любой геометрии Клейна (G, H) существует геометрически ориентированная геометрия, канонически связанная с (G, H) с тем же базовым пространством G/H. Это геометрия (G0, G0 H), где G0 является компонентом идентичности G. Обратите внимание, что 1=G = G0 H.
Редуктивные геометрии
Говорят, что геометрия Клейна (G, H) является редуктивной, а G/H - редуктивным однородным пространством, если алгебра Ли H имеет инвариантный комплемент H в .
Примеры
В следующей таблице приведено описание классических геометрий, смоделированных как геометрии Клейна. Подгруппа Г Группа H Инварианты Проективная геометрия Реальное проективное пространство Проективная группа А Подгруппа фиксации флага Проективные линии, соотношение крестообразования Конформная геометрия на сфере Сфера Лоренц группа пространства измерений Подгруппа фиксации линии в нулевом конусе метрики Минковского Обобщенные круги, углы Гиперболическая геометрия Гиперболическое пространство, смоделированное, например, как время, как линии в пространстве Минковского Ортохохроновые группы Лоренца Линии, круги, расстояния, углы Эллиптическая геометрия Эллиптическое пространство, смоделированное, например, как линии через источник в евклидовом пространстве Линии, круги, расстояния, углы Сферная геометрия Ортогонная группа Сферы Ортгоналная группа Линии (большие круги), расстояния точек аффинальной геометрии Аффинальные линии в пространстве Аффинальные линии Общие области аффинальные линии, геометрические области аффинальные линии, группы геометрических треугонов, группы угловых точек, группы евклидных геометрии, группы центровых точек, группы евклидных геометрии, группы, группы угловых геометрии, площадейных треугонов, группы, группы масс, центровых точек