Введение

В математике поле F называется квазиалгебраически замкнутым (или C1), если каждый неконстантный однородный полином P над F имеет нетривиальный корень при условии, что число его переменных больше его степени. Идея квазиалгебраически замкнутых полей была исследована К. С. Ценом, учеником Эмми Ноэтер, в статье 1936 года, а позже Сержем Лангом в его диссертации 1951 года в Принстонском университете и в его статье 1952 года. Сама идея приписывается научному руководителю Ланга Эмилю Артину. Формально, если P – неконстантный однородный полином в переменных X1, …, XN, и степени d, удовлетворяющий условию d < N, то он имеет нетривиальный корень над F; то есть, существуют такие xi из F, не все равные 0, что P(x1, …, xN) = 0. На геометрическом языке гиперповерхность, определяемая P, в проективном пространстве степени N − 2, имеет точку над F.

Примеры

Любое алгебраически замкнутое поле является квазиалгебраически замкнутым. Действительно, любой однородный многочлен от по крайней мере двух переменных над алгебраически замкнутым полем имеет нетривиальный корень. Любое конечное поле квазиалгебраически замкнуто по теореме Шевалье-Варнинга. Алгебраические поля функций размерности 1 над алгебраически замкнутыми полями квазиалгебраически замкнуты по теореме Цэня. Максимальное неразветвленное расширение полного поля с дискретной оценкой и совершенным полем вычетов является квазиалгебраически замкнутым. Псевдоалгебраически замкнутое поле характеристики ноль является квазиалгебраически замкнутым.

Свойства

Любое алгебраическое расширение квазиалгебраически закрытого поля является квазиалгебраически закрытым. Группа Брауэра конечного расширения квазиалгебраически закрытого поля тривиальна. Квазиалгебраически закрытое поле имеет кохомологическое измерение не более 1. Это условие было впервые введено и изучено Лэнгом. Поля C0 – это точно алгебраически закрытые поля. Ланг и Нагата доказали, что если поле является Ck, то любое расширение трансцендентности степени n является Ck+n. Наименьшее k, такое что K является полем Ck (если такого числа не существует), называется диофантическим измерением dd(K) поля K.

Поля C1

Каждое конечное поле является C1. Теорема Акса — Кохена применила методы теории моделей для доказательства справедливости гипотезы Артина для Qp при достаточно большом p (зависящем от d).