Введение

В математике алгебра Ли называется разрешимой, если её производный ряд завершается нулевой субальгеброй. Производная алгебра Ли алгебры Ли – это субальгебра , обозначаемая как , состоящая из всех линейных комбинаций скобок Ли пар элементов из . Производный ряд – это последовательность субальгебр . Если производный ряд в конечном итоге достигает нулевой субальгебры, то алгебра Ли называется разрешимой. Производные ряды для алгебр Ли аналогичны производным рядам для коммутаторных подгрупп в теории групп, а разрешимые алгебры Ли являются аналогами разрешимых групп. Любая нильпотентная алгебра Ли является, тем более, разрешимой, но обратное неверно. Разрешимые алгебры Ли и полупростые алгебры Ли образуют два больших и, как правило, взаимодополняющих класса, что демонстрируется разложением Леви. Разрешимые алгебры Ли – это именно те, которые можно получить из полупрямых произведений, начиная с 0 и добавляя по одному измерению за раз. (v) Для -мерной алгебры существует конечная последовательность субальгебр : с каждым являющимся идеалом в . Последовательность такого типа называется элементарной последовательностью. (vi) Существует конечная последовательность субальгебр , такая, что является идеалом в , а – абелевой. (vii) Форма Киллинга алгебры удовлетворяет условию для всех из и из . Это критерий разрешимости Картана.

Полностью разрешимые алгебры Ли

Алгебра Ли называется полностью разрешимой или расщепляемо разрешимой, если она имеет элементарную последовательность {(V) Как указано выше} идеалов из в . Конечномерная нильпотентная алгебра Ли является полностью разрешимой, и полностью разрешимая алгебра Ли является разрешимой. Над алгебраически замкнутым полем разрешимая алгебра Ли является полностью разрешимой, но размерная вещественная алгебра Ли группы евклидовых изометрий плоскости является разрешимой, но не полностью разрешимой. Разрешимая алгебра Ли является расщепляемо разрешимой тогда и только тогда, когда собственные значения принадлежат для всех из .

Абелева алгебра лжи

Каждая абелева алгебра Ли по определению является разрешимой, поскольку её коммутатор равен нулю. Это включает алгебру Ли диагональных матриц в , которые имеют вид для некоторого . Структура алгебры Ли на векторном пространстве , заданная тривиальным скобком для любых двух матриц , также является примером.

Нильпотентные алгебры Лей

Другой класс примеров происходит из нилпотентных алгебр Ли, поскольку сопряженное представление является разрешимым. Примеры включают верхнетреугольные матрицы, такие как класс матриц вида, называемый алгеброй Ли строго верхнетреугольных матриц. Кроме того, алгебра Ли верхнетреугольных матриц вида образует разрешимую алгебру Ли. Это включает матрицы вида и обозначается .

Растворимые, но не растворимые раздельно

Пусть $\mathfrak{l}$ будет множеством матриц вида Тогда $\mathfrak{l}$ разрешима, но не расщепляемо разрешима. Она изоморфна алгебре Ли группы трансляций и вращений на плоскости.

Непример

Полупростая алгебра Ли никогда не является разрешимой, поскольку ее радикал, являющийся наибольшим разрешимым идеалом в , тривиален. страница 11