Введение

В группе сопряжённый элемент h относительно g равен ghg⁻¹.

Ротация

В 3D конъюгат вращения вокруг оси относительно преобразования переноса является соответствующим вращением вокруг перенесенной оси. Такая конъюгация порождает винтовое движение, которое, как известно, выражает произвольное евклидово движение согласно теореме Чейслса. Класс конъюгации в евклидовой группе E(3) вращения вокруг оси – это вращение на тот же угол вокруг любой оси. Конъюгированное замыкание синглетона, содержащего вращение в 3D, равно E+(3). В 2D это отличается в случае k-кратного вращения: конъюгированное замыкание содержит k вращений (включая тождественное) в сочетании со всеми переносами. E(2) имеет фактор-группу O(2) / Ck, а E+(2) – фактор-группу SO(2) / Ck. Для k = 2 это уже было рассмотрено выше.

Отражение

Конъюгаты отражения — это отражения с зеркальной плоскостью, сдвинутой, повернутой и отраженной. Конъюгированное замыкание синглетона, содержащего отражение, — это всё E(n).

Изометрические группы

Две изометрические группы считаются равными с точностью до сопряженности относительно аффинных преобразований, если существует аффинное преобразование, такое что все элементы одной группы можно получить, беря сопряженные этим аффинным преобразованием элементы другой группы. Это применимо, например, к группам симметрии двух орнаментов, оба из которых относятся к определенному типу обоев. Если бы мы рассматривали только сопряженность относительно изометрий, мы бы не допускали масштабирование, а в случае параллелограмматической решетки – изменение формы параллелограмма. Однако следует отметить, что сопряженное аффинным преобразованием изометрическое преобразование, как правило, само не является изометрией, хотя объем (в 2D: площадь) и ориентация сохраняются.

Циклические группы

Циклические группы являются абелевыми, поэтому сопряжение любого элемента к любому элементу дает сам этот элемент. Zmn / Zm ≅ Zn. Zmn является прямым произведением Zm и Zn тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты. Таким образом, например, Z12 является прямым произведением Z3 и Z4, но не Z6 и Z2.