Введение

Теорема существования о решетчатом упаковывании гиперсфер
В математике теорема Минковского — Хлавки является результатом об решетчатом упаковывании гиперсфер в размерности n > 1. Она утверждает, что существует решетка в евклидовом пространстве размерности n, такая что соответствующее наилучшее упаковывание гиперсфер с центрами в точках решетки имеет плотность Δ, удовлетворяющую

где ζ — функция Римана. При этом, когда n → ∞, ζ(n) → 1. Доказательство этой теоремы является косвенным и не предоставляет явного примера. Однако до сих пор не существует простого и явного способа построения решеток с плотностью упаковывания, превышающей эту границу для произвольного n. В принципе, можно найти явные примеры: например, даже случайный выбор нескольких решеток с высокой вероятностью даст решение. Проблема заключается в том, что проверка этих решеток на предмет того, являются ли они решениями, требует нахождения их кратчайших векторов, а число проверяемых случаев очень быстро растет с увеличением размерности, что может занять значительное время. Результат был сформулирован без доказательства и доказан. Этот результат связан с линейной нижней границей для постоянной Эрмита.

Теорема Сигеля

доказал следующее обобщение теоремы Минковского — Хлавки. Если S — ограниченное множество в Rⁿ с объемом Джордана vol(S), то среднее число ненулевых решётчатых векторов в S равно vol(S) / D, где среднее берется по всем решёткам с фундаментальной областью объема D, и аналогично среднее число примитивных решётчатых векторов в S равно vol(S) / (Dζ(n)). Теорема Минковского — Хлавки легко вытекает из этого, используя тот факт, что если S — звездообразное центрально-симметричное тело (например, шар), содержащее менее 2 примитивных решётчатых векторов, то оно не содержит ненулевых решётчатых векторов.