Введение
В математике метаплектическая группа Mp2n является двойным покрытием симплектической группы Sp2n. Она может быть определена как над действительными, так и над p-адическими числами. Эта конструкция обобщается на случай произвольного локального или конечного поля, и даже кольца аделей. Метаплектическая группа обладает особенно важным бесконечномерным линейным представлением — представлением Вейля. Андре Вейль использовал его для получения теоретико-представительной интерпретации тета-функций, и оно играет важную роль в теории модульных форм полуцелого веса и тета-соответствия.
Определение
Фундаментальная группа симплектической группы Ли Sp2n(R) является бесконечно циклической, поэтому она имеет единственное связное двойное накрытие, которое обозначается Mp2n(R) и называется метаплектической группой. Метаплектическая группа Mp2(R) не является матричной группой: у неё нет верных конечномерных представлений. Поэтому вопрос о её явной реализации нетривиален. Она имеет верные неприводимые бесконечномерные представления, такие как представление Вейля, описанное ниже. Можно доказать, что если F – любое локальное поле, отличное от C, то симплектическая группа Sp2n(F) допускает единственное совершенное центральное расширение с ядром Z/2Z, циклической группой порядка 2, которое называется метаплектической группой над F. Она служит алгебраической заменой топологическому понятию двукратного накрытия, используемому при F = R. Подход через понятие центрального расширения полезен даже в случае вещественной метаплектической группы, поскольку он позволяет описать групповую операцию посредством определённого коцикла.
It serves as an algebraic replacement of the topological notion of a 2 fold cover used when 1=F = R. The approach through the notion of central extension is useful even in the case of real metaplectic group, because it allows a description of the group operation via a certain cocycle.