Введение
В математике, изоморфизм — это отображение, сохраняющее структуру, между двумя структурами одного типа, которое может быть обращено обратным отображением. Две математические структуры изоморфны, если между ними существует изоморфизм. Слово «изоморфизм» происходит от древнегреческих слов: ἴσος (isos) — «равный» и μορφή (morphe) — «форма» или «вид». Интерес к изоморфизмам заключается в том, что два изоморфных объекта обладают одинаковыми свойствами (за исключением дополнительной информации, такой как дополнительная структура или названия объектов). Таким образом, изоморфные структуры нельзя различить только с точки зрения структуры и их можно отождествить. В математическом жаргоне говорят, что два объекта эквивалентны с точностью до изоморфизма. Автоморфизм — это изоморфизм структуры на саму себя. Изоморфизм между двумя структурами называется каноническим изоморфизмом (каноническое отображение, являющееся изоморфизмом), если между двумя структурами существует только один изоморфизм (как в случае решений универсального свойства) или если изоморфизм намного естественнее (в некотором смысле), чем другие изоморфизмы. Например, для каждого простого числа p все поля с p элементами канонически изоморфны, с единственным изоморфизмом. Теоремы об изоморфизмах предоставляют канонические изоморфизмы, которые не являются единственными. Термин «изоморфизм» в основном используется для алгебраических структур. В этом случае отображения называются гомоморфизмами, а гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен. В различных областях математики изоморфизмы получили специализированные названия в зависимости от типа рассматриваемой структуры. Например: Изометрия — это изоморфизм метрических пространств. Гомеоморфизм — это изоморфизм топологических пространств. Диффеоморфизм — это изоморфизм пространств, снабженных дифференциальной структурой, обычно дифференцируемых многообразий. Симплектоморфизм — это изоморфизм симплектических многообразий. Перестановка — это автоморфизм множества. В геометрии изоморфизмы и автоморфизмы часто называют преобразованиями, например, жесткими преобразованиями, аффинными преобразованиями, проективными преобразованиями. Теория категорий, которую можно рассматривать как формализацию концепции отображения структур, предоставляет язык, который можно использовать для унификации подхода к этим различным аспектам основной идеи.
mathematics
In mathematics, an isomorphism is a structure preserving mapping between two structures of the same type that can be reversed by an inverse mapping. Two mathematical structures are isomorphic if an isomorphism exists between them. The word isomorphism is derived from the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape". The interest in isomorphisms lies in the fact that two isomorphic objects have the same properties (excluding further information such as additional structure or names of objects). Thus isomorphic structures cannot be distinguished from the point of view of structure only, and may be identified. In mathematical jargon, one says that two objects are the same up to an isomorphism. An automorphism is an isomorphism from a structure to itself. An isomorphism between two structures is a canonical isomorphism (a canonical map that is an isomorphism) if there is only one isomorphism between the two structures (as is the case for solutions of a universal property), or if the isomorphism is much more natural (in some sense) than other isomorphisms. For example, for every prime number p, all fields with p elements are canonically isomorphic, with a unique isomorphism. The isomorphism theorems provide canonical isomorphisms that are not unique. The term isomorphism is mainly used for algebraic structures. In this case, mappings are called homomorphisms, and a homomorphism is an isomorphism if and only if it is bijective. In various areas of mathematics, isomorphisms have received specialized names, depending on the type of structure under consideration. For example:
An isometry is an isomorphism of metric spaces. A homeomorphism is an isomorphism of topological spaces. A diffeomorphism is an isomorphism of spaces equipped with a differential structure, typically differentiable manifolds. A symplectomorphism is an isomorphism of symplectic manifolds. A permutation is an automorphism of a set. In geometry, isomorphisms and automorphisms are often called transformations, for example rigid transformations, affine transformations, projective transformations. Category theory, which can be viewed as a formalization of the concept of mapping between structures, provides a language that may be used to unify the approach to these different aspects of the basic idea.
Логарифмы и экспоненциальные
Пусть – мультипликативная группа положительных действительных чисел, а – аддитивная группа действительных чисел. Логарифмическая функция удовлетворяет для всех , следовательно, это гомоморфизм групп. Экспоненциальная функция удовлетворяет для всех , поэтому она также является гомоморфизмом. Тождества и показывают, что и являются обратными друг другу. Поскольку является гомоморфизмом, имеющим обратный гомоморфизм, является изоморфизмом групп. Функция – это изоморфизм, который переводит умножение положительных действительных чисел в сложение действительных чисел. Благодаря этому можно умножать действительные числа с помощью линейки и таблицы логарифмов или с помощью логарифмической линейки.
Приложения
В алгебре изоморфизмы определены для всех алгебраических структур. Некоторые из них изучаются более конкретно; например:
Линейные изоморфизмы между векторными пространствами; они определяются обратимыми матрицами. Групповые изоморфизмы между группами; классификация классов изоморфизма конечных групп остаётся открытой проблемой. Изоморфизм колец между кольцами. Изоморфизмы полей тождественны изоморфизму колец между полями; их изучение, и в особенности изучение автоморфизмов полей, является важной частью теории Галуа. Так же, как автоморфизмы алгебраической структуры образуют группу, изоморфизмы между двумя алгебрами, имеющими общую структуру, образуют кучу. Если конкретный изоморфизм отождествляет две структуры, то эта куча превращается в группу. В математическом анализе преобразование Лапласа — это изоморфизм, отображающий сложные дифференциальные уравнения в более простые алгебраические уравнения. В теории графов изоморфизм между двумя графами G и H — это биективное отображение f из вершин G в вершины H, сохраняющее "структуру рёбер" в том смысле, что существует ребро из вершины u в вершину v в G тогда и только тогда, когда существует ребро из u в v в H. См. изоморфизм графов. В математическом анализе изоморфизм между двумя пространствами Гильберта — это биекция, сохраняющая сложение, скалярное умножение и внутреннее произведение. В ранних теориях логического атомизма формальное отношение между фактами и истинными высказываниями было теоретизировано Бертраном Расселом и Людвигом Витгенштейном как изоморфное. Пример этой линии мышления можно найти во "Введении Рассела в математическую философию". В кибернетике хорошим регулятором, или теоремой Конанта — Эшби, утверждается, что "каждый хороший регулятор системы должен быть моделью этой системы". Независимо от того, является ли система регулируемой или саморегулируемой, требуется изоморфизм между регулятором и обрабатывающими частями системы.
Linear isomorphisms between vector spaces; they are specified by invertible matrices. Group isomorphisms between groups; the classification of isomorphism classes of finite groups is an open problem. Ring isomorphism between rings. Field isomorphisms are the same as ring isomorphism between fields; their study, and more specifically the study of field automorphisms is an important part of Galois theory. Just as the automorphisms of an algebraic structure form a group, the isomorphisms between two algebras sharing a common structure form a heap. Letting a particular isomorphism identify the two structures turns this heap into a group. In mathematical analysis, the Laplace transform is an isomorphism mapping hard differential equations into easier algebraic equations. In graph theory, an isomorphism between two graphs G and H is a bijective map f from the vertices of G to the vertices of H that preserves the "edge structure" in the sense that there is an edge from vertex u to vertex v in G if and only if there is an edge from to in H. See graph isomorphism. In mathematical analysis, an isomorphism between two Hilbert spaces is a bijection preserving addition, scalar multiplication, and inner product. In early theories of logical atomism, the formal relationship between facts and true propositions was theorized by Bertrand Russell and Ludwig Wittgenstein to be isomorphic. An example of this line of thinking can be found in Russell's Introduction to Mathematical Philosophy. In cybernetics, the good regulator or Conant–Ashby theorem is stated "Every good regulator of a system must be a model of that system". Whether regulated or self regulating, an isomorphism is required between the regulator and processing parts of the system.
Теоретический взгляд на категории
В теории категорий, для данной категории C, изоморфизм — это морфизм, имеющий обратный морфизм, то есть, f: A → B и g: B → A такие, что g ∘ f = id_A и f ∘ g = id_B. Например, биективное линейное отображение является изоморфизмом между векторными пространствами, а биективная непрерывная функция, обратная функция которой также непрерывна, является изоморфизмом между топологическими пространствами, называемым гомеоморфизмом. Две категории C и D изоморфны, если существуют функторы F: C → D и G: D → C, взаимно обратные друг другу, то есть, G ∘ F = id_C и F ∘ G = id_D (функтор идентичности на C).
Изоморфизм против биективного морфизма
В конкретной категории (грубо говоря, категории, объекты которой являются множествами (возможно, с дополнительной структурой), а морфизмы – функциями, сохраняющими структуру), такой как категория топологических пространств или категории алгебраических объектов (например, категория групп, категория колец и категория модулей), изоморфизм должен быть биективным на лежащих в основе множествах. В алгебраических категориях (в частности, категориях многообразий в смысле универсальной алгебры) изоморфизм совпадает с биективным гомоморфизмом на лежащих в основе множествах. Однако существуют конкретные категории, в которых биективные морфизмы не обязательно являются изоморфизмами (например, категория топологических пространств).