Введение
В математике абсолютная группа Галуа GK поля K - это группа Галуа Ксеп над К, где Ксеп является разделяемым закрытием К. Альтернативно, это группа всех автоморфизмов алгебраического закрытия К, которые фиксируют К. Абсолютная группа Галуа хорошо определена до внутреннего автоморфизма. Это - определенная группа. (Когда K является совершенным полем, Ksep то же самое, что и алгебраическое закрытие Kalg K. Это относится, например, к K характеристикой нуля или K конечным полем.)
Проблемы
Неизвестно прямое описание абсолютной группы Галуа рациональных чисел. В этом случае из теоремы Белая следует, что абсолютная группа Галуа имеет верное действие на dessins d'enfants Гротендика (карты на поверхностях), что позволяет нам "видеть" теорию Галуа алгебраических числовых полей. Пусть K - максимальное абелево-разрядное расширение рациональных чисел. Тогда предположение Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа К является свободной конечной группой. Интересная проблема заключается в том, чтобы решить гипотезу Ян Минака и Нгуен Дуй Тан о исчезновении продуктов Massey.
Некоторые общие результаты
Каждая проконечная группа встречается как группа Галуа некоторого расширения Галуа, однако не каждая проконечная группа встречается как абсолютная группа Галуа. Например, теорема Артина Шрайера утверждает, что единственные конечные абсолютные группы Галуа либо тривиальны, либо порядка 2, то есть только два класса изоморфизма. Каждая проективная проконечная группа может быть реализована как абсолютная группа Галуа псевдоалгебраически закрытого поля. Этот результат - заслуга Александра Любоцкого и Лу ван ден Дриса.