Введение

Математическая формула
В теории чисел формула числа классов связывает множество важных инвариантов числового поля со специальным значением его дзета-функции Дедекинда.

Доказательство

Идея доказательства формулы числа класса наиболее легко понимается, когда K = Q(i). В этом случае кольцо целых чисел в K – это гауссовы целые числа. Элементарные вычисления показывают, что остаток дедекиндовой дзета-функции при s = 1 равен среднему значению коэффициентов разложения дзета-функции в ряд Дирихле. N-й коэффициент ряда Дирихле по существу представляет собой количество способов представить n в виде суммы двух квадратов неотрицательных целых чисел. Таким образом, остаток дедекиндовой дзета-функции при s = 1 можно вычислить, вычислив среднее число представлений. Как и в статье о круге Гаусса, это можно сделать, приближенно вычислив число точек решетки внутри четверти круга с центром в начале координат, и прийти к выводу, что остаток равен одной четверти числа пи. Доказательство для произвольного мнимого квадратичного числового поля очень похоже. В общем случае, согласно теореме Дирихле об единицах, группа единиц в кольце целых чисел K бесконечна. Тем не менее, можно свести вычисление остатка к задаче подсчета точек решетки, используя классическую теорию вещественных и комплексных вложений, и приблизить число точек решетки в области объемом этой области, чтобы завершить доказательство.

Абелева расширения рационалов

Это случай, когда Gal(K/Q) является абелевой группой, в которой все ρ можно заменить характерами Дирихле (с помощью теории поля классов) для некоторого модуля f, называемого кондуктором. Следовательно, все значения L(1) возникают для L-функций Дирихле, для которых существует классическая формула, включающая логарифмы. По теореме Кронекера — Вебера, все значения, необходимые для аналитической формулы числа класса, уже присутствуют при рассмотрении циклотомических полей. В этом случае возможна дальнейшая формулировка, как показал Куммер. Регулятор, представляющий собой вычисление объема в «логарифмическом пространстве», делённое на логарифмы единиц циклотомического поля, сопоставляется с величинами из L(1), узнаваемыми как логарифмы циклотомических единиц. В результате получаются формулы, утверждающие, что число класса определяется индексом циклотомических единиц во всей группе единиц. В теории Ивасавы эти идеи дополнительно объединяются с теоремой Стикельбергера.