Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, прямой функтор изображения - это конструкция в теории снопов, которая обобщает функтор глобальных секций в относительном случае. Она имеет фундаментальное значение в топологии и алгебраической геометрии. При наличии снопа F, определенного на топологическом пространстве X и непрерывной карте f: X → Y, мы можем определить новый сноп fF на Y, называемый снопом прямого изображения или проталкивающим снопом F вдоль f, таким образом, что глобальные секции fF даны глобальными секциями F. Это назначение дает основание для функтора f от категории снопов на X до категории снопов на Y, который известен как функтор прямого изображения. Подобные конструкции существуют во многих других алгебраических и геометрических контекстах, включая квази-когерентные снопы и эталевые снопы на схеме.
In mathematics, the direct image functor is a construction in sheaf theory that generalizes the global sections functor to the relative case. It is of fundamental importance in topology and algebraic geometry. Given a sheaf F defined on a topological space X and a continuous map f: X → Y, we can define a new sheaf f∗F on Y, called the direct image sheaf or the pushforward sheaf of F along f, such that the global sections of f∗F is given by the global sections of F. This assignment gives rise to a functor f∗ from the category of sheaves on X to the category of sheaves on Y, which is known as the direct image functor. Similar constructions exist in many other algebraic and geometric contexts, including that of quasi coherent sheaves and étale sheaves on a scheme.
Пример
Если Y - точка, а f: X → Y - уникальная непрерывная карта, то Sh(Y) - категория Ab абелевых групп, а прямой функтор изображения f: Sh(X) → Ab равен функтору глобальных секций.
If Y is a point, and f: X → Y the unique continuous map, then Sh(Y) is the category Ab of abelian groups, and the direct image functor f∗: Sh(X) → Ab equals the global sections functor.
Варианты
Если речь идет о снопах множеств, а не о снопах абелевых групп, то применяется то же определение. Аналогичным образом, если f: (X, OX) → (Y, OY) - это морфизм кольцевых пространств, мы получаем прямой функционал изображения f: Sh(X, OX) → Sh(Y, OY) из категории снопов модулей OX в категорию снопов модулей OY. Более того, если f теперь является морфизмом квазикомпактных и квазиразделенных схем, то f сохраняет свойство квазикогерентности, поэтому мы получаем прямой функтор изображения между категориями квазикогерентных сборок. Аналогичное определение применяется к снопам на топонах, таким как снопы этале.
If dealing with sheaves of sets instead of sheaves of abelian groups, the same definition applies. Similarly, if f: (X, OX) → (Y, OY) is a morphism of ringed spaces, we obtain a direct image functor f∗: Sh(X,OX) → Sh(Y,OY) from the category of sheaves of OX modules to the category of sheaves of OY modules. Moreover, if f is now a morphism of quasi compact and quasi separated schemes, then f∗ preserves the property of being quasi coherent, so we obtain the direct image functor between categories of quasi coherent sheaves. A similar definition applies to sheaves on topoi, such as étale sheaves. There, instead of the above preimage f−1(U), one uses the fiber product of U and X over Y.