Введение
Алгебраическая поверхность в математике
В математике, поверхность Гильберта или поверхность Гильберта — Блюменталя — это алгебраическая поверхность, получаемая как фактор-пространство произведения двух копий верхней полуплоскости по группе Гильберта. В более общем случае, многообразие Гильберта — это алгебраическое многообразие, получаемое как фактор-пространство произведения нескольких копий верхней полуплоскости по группе Гильберта. Поверхности Гильберта были впервые описаны на основе некоторых неопубликованных заметок, написанных Давидом Гильбертом примерно за 10 лет до этого.
In mathematics, a Hilbert modular surface or Hilbert–Blumenthal surface is an algebraic surface obtained by taking a quotient of a product of two copies of the upper half plane by a Hilbert modular group. More generally, a Hilbert modular variety is an algebraic variety obtained by taking a quotient of a product of multiple copies of the upper half plane by a Hilbert modular group. Hilbert modular surfaces were first described by using some unpublished notes written by David Hilbert about 10 years before.
Особенности
показал, как разрешить сингулярности типа частного, и показал, как разрешить их сингулярности типа острого угла.
Свойства
Гильбертовы модульные многообразия не могут быть анабелевыми.
Классификация поверхностей
В статьях и определили их тип в классификации алгебраических поверхностей. Большинство из них — поверхности общего типа, но некоторые являются рациональными поверхностями, вздутыми поверхностями K3 или эллиптическими поверхностями.
Примеры
дает длинную таблицу примеров. Поверхность Клебша, раздутая в ее 10 точках Эккардта, является модулярной поверхностью Гильберта.
Связан с расширением поля квадрата
Для квадратичного расширения поля существует ассоциированное гильбертово-модульное многообразие, полученное путем компактификации определенного фактор-многообразия и разрешения его особенностей. Обозначим верхнюю полуплоскость и пусть группа Галуа действует на ней посредством , где – галасовы сопряженные. Соответствующее фактор-многообразие обозначается и может быть компактифицировано до многообразия, называемого куспидальным многообразием, которое находится во взаимно однозначном соответствии с классами идеалов в . Разрешение его особенностей дает многообразие, называемое гильбертово-модульным многообразием данного расширения поля. Согласно теореме компактификации Бейли-Бореля, существует вложение этой поверхности в проективное пространство.