Грассмановы числа в математической физике

Введение

Антикоммутирующее число
В математической физике число Грассмана, названное в честь Германа Грассмана (также называемое антикоммутирующим числом или суперчислом), является элементом внешней алгебры над комплексными числами. Частный случай одномерной алгебры известен как двойственное число. Числа Грассмана изначально использовались в физике для выражения интегрального представления траектории для фермионных полей, хотя в настоящее время они широко применяются как основа для суперпространства, на котором строится суперсимметрия.

Неформальная дискуссия

Числа Грассмана генерируются антикоммутирующими элементами или объектами. Идея антикоммутирующих объектов возникает в различных областях математики: они обычно встречаются в дифференциальной геометрии, где дифференциальные формы антикоммутируют. Дифференциальные формы обычно определяются в терминах производных на многообразии; однако можно представить ситуацию, когда "забывают" или "игнорируют" существование какого-либо базового многообразия и "забывают" или "игнорируют", что формы были определены как производные, а вместо этого рассматривают ситуацию, в которой есть объекты, которые антикоммутируют, и не имеют других заранее определенных или предполагаемых свойств. Такие объекты образуют алгебру, в частности алгебру Грассмана или внешнюю алгебру. Числа Грассмана являются элементами этой алгебры. Название "число" оправдано тем, что они ведут себя отчасти как "обычные" числа: их можно складывать, умножать и делить; они ведут себя почти как поле. Можно пойти дальше: можно рассматривать полиномы от чисел Грассмана, что приводит к идее голоморфных функций. Можно брать производные таких функций, а затем рассматривать и антипроизводные. Каждая из этих идей может быть четко определена и разумно соответствует эквивалентным понятиям из обычной математики. Аналогия на этом не заканчивается: существует целая ветвь суперматематики, где аналогом евклидова пространства является суперпространство, аналогом многообразия – супермногообразие, аналогом алгебры Ли – супералгебра Ли и так далее. Числа Грассмана – это основополагающая конструкция, которая делает все это возможным. Конечно, можно реализовать аналогичную программу для любого другого поля или даже кольца, и это действительно широко и обычно делается в математике. Однако суперматематика приобретает особое значение в физике, поскольку антикоммутирующее поведение можно тесно связать с квантово-механическим поведением фермионов: антикоммутация соответствует принципу исключения Паули. Таким образом, изучение чисел Грассмана и суперматематики в целом во многом обусловлено их полезностью в физике. В частности, в квантовой теории поля или, более узко, во второй квантизации работают с операторами рождения, которые создают многочастичные квантовые состояния. Операторы рождения для фермионов создают кванты поля, которые обязательно должны иметь антисимметричные волновые функции, поскольку это диктуется принципом исключения Паули. В этой ситуации число Грассмана непосредственно и однозначно соответствует волновой функции, содержащей некоторое (обычно неопределенное) число фермионов. Когда число фермионов фиксировано и конечно, явная связь между антикоммутационными соотношениями и спинорами задается с помощью спиновой группы. Эта группа может быть определена как подмножество векторов единичной длины в алгебре Клиффорда и естественным образом раскладывается на антикоммутирующие спиноры Вейля. Как антикоммутация, так и представление в виде спиноров возникают естественным образом для спиновой группы. По сути, числа Грассмана можно рассматривать как отбрасывающие соотношения, возникающие из спина, и сохраняющие только соотношения, обусловленные антикоммутацией.

Grassmann numbers are generated by anti commuting elements or objects. The idea of anti commuting objects arises in multiple areas of mathematics: they are typically seen in differential geometry, where the differential forms are anti commuting. Differential forms are normally defined in terms of derivatives on a manifold; however, one can contemplate the situation where one "forgets" or "ignores" the existence of any underlying manifold, and "forgets" or "ignores" that the forms were defined as derivatives, and instead, simply contemplate a situation where one has objects that anti commute, and have no other pre defined or pre supposed properties. Such objects form an algebra, and specifically the Grassmann algebra or exterior algebra. The Grassmann numbers are elements of that algebra. The appellation of "number" is justified by the fact that they behave not unlike "ordinary" numbers: they can be added, multiplied and divided: they behave almost like a field. More can be done: one can consider polynomials of Grassmann numbers, leading to the idea of holomorphic functions. One can take derivatives of such functions, and then consider the anti derivatives as well. Each of these ideas can be carefully defined, and correspond reasonably well to the equivalent concepts from ordinary mathematics. The analogy does not stop there: one has an entire branch of supermathematics, where the analog of Euclidean space is superspace, the analog of a manifold is a supermanifold, the analog of a Lie algebra is a Lie superalgebra and so on. The Grassmann numbers are the underlying construct that make this all possible. Of course, one could pursue a similar program for any other field, or even ring, and this is indeed widely and commonly done in mathematics. However, supermathematics takes on a special significance in physics, because the anti commuting behavior can be strongly identified with the quantum mechanical behavior of fermions: the anti commutation is that of the Pauli exclusion principle. Thus, the study of Grassmann numbers, and of supermathematics, in general, is strongly driven by their utility in physics. Specifically, in quantum field theory, or more narrowly, second quantization, one works with ladder operators that create multi particle quantum states. The ladder operators for fermions create field quanta that must necessarily have anti symmetric wave functions, as this is forced by the Pauli exclusion principle. In this situation, a Grassmann number corresponds immediately and directly to a wave function that contains some (typically indeterminate) number of fermions. When the number of fermions is fixed and finite, an explicit relationship between anticommutation relations and spinors is given by means of the spin group. This group can be defined as the subset of unit length vectors in the Clifford algebra, and naturally factorizes into anti commuting Weyl spinors. Both the anti commutation and the expression as spinors arises in a natural fashion for the spin group. In essence, the Grassmann numbers can be thought of as discarding the relationships arising from spin, and keeping only the relationships due to anti commutation.

Конечные и перечислимые наборы генераторов

В литературе обычно встречаются два различных типа суперчисел: те, которые имеют конечное число генераторов, как правило, n = 1, 2, 3 или 4, и те, которые имеют счетно бесконечное число генераторов. Эти две ситуации не так далеки друг от друга, как может показаться на первый взгляд. Во-первых, в определении супермногообразия один из вариантов использует счетно бесконечное число генераторов, но затем применяет топологию, которая фактически уменьшает размерность до небольшого конечного числа. В другом случае можно начать с конечного числа генераторов, но в процессе второй квантизации возникает потребность в бесконечном числе генераторов: по одному для каждого возможного импульса, который может нести фермион.

Анализ

Продукты нечётного числа переменных Грассмана антикоммутируют друг с другом; такой продукт часто называют *a*-числом. Продукты чётного числа переменных Грассмана коммутируют (со всеми числами Грассмана); их часто называют *c*-числами. В силу некоторой вольности в терминологии, *a*-число иногда называют антикоммутирующим *c*-числом. Такое разложение на чётные и нечётные подпространства задаёт градуировку алгебры; таким образом, алгебры Грассмана являются прототипичными примерами суперкоммутативных алгебр. Следует отметить, что *c*-числа образуют подалгебру, а *a*-числа – нет (они являются подпространством, но не подалгеброй). Определение чисел Грассмана позволяет проводить математический анализ, аналогично анализу комплексных чисел. То есть можно определить суперголоморфные функции, производные и интегралы. Некоторые из основных концепций более подробно рассматриваются в статье о двойных числах. Как правило, определить суперсимметричные аналоги обычных математических объектов проще, работая с числами Грассмана с бесконечным числом порождающих: большинство определений становятся прямолинейными и могут быть перенесены из соответствующих бозонных определений. Например, одно число Грассмана можно рассматривать как порождающее одномерное пространство. Векторное пространство, *m*-мерное суперпространство, тогда представляется как *m*-кратное декартово произведение этих одномерных пространств. Можно показать, что это по существу эквивалентно алгебре с *m* генераторами, но это требует определённых усилий.

Космос спинора

Спинорное пространство определяется как алгебра Грассмана или внешняя алгебра пространства спиноров Вейля (и антиспиноров), так что волновые функции n фермионов принадлежат этому пространству.

Матричные представления

Числа Грассмана могут быть представлены матрицами. Рассмотрим, например, алгебру Грассмана, порожденную двумя числами Грассмана θ₁ и θ₂. Эти числа Грассмана могут быть представлены матрицами 4×4:

В общем случае, алгебра Грассмана с n генераторами может быть представлена квадратными матрицами 2n × 2n. Физически, эти матрицы можно интерпретировать как операторы рождения, действующие на гильбертовом пространстве, состоящем из n идентичных фермионов в базисе чисел заполнения. Поскольку число заполнения для каждого фермиона равно 0 или 1, существует 2n возможных базисных состояний. Математически, эти матрицы можно интерпретировать как линейные операторы, соответствующие внешнему умножению слева на самой алгебре Грассмана.