Введение
Свойства, общие для теорий гомологии топологических пространств. В математике, в частности в алгебраической топологии, аксиомы Эйленберга — Стинрода — это свойства, которые присущи всем теориям гомологии топологических пространств. Классическим примером теории гомологии, удовлетворяющей этим аксиомам, является сингулярная гомология, разработанная Сэмюэлем Эйленбергом и Норманом Стинродом. Теорию гомологии можно определить как последовательность функторов, удовлетворяющих аксиомам Эйленберга — Стинрода. Аксиоматический подход, разработанный в 1945 году, позволяет доказывать результаты, такие как последовательность Майера — Виториса, которые справедливы для всех теорий гомологии, удовлетворяющих аксиомам. Если исключить аксиому размерности (описанную ниже), то оставшиеся аксиомы определяют так называемую необыкновенную теорию гомологии. Необыкновенные теории кохомологии впервые появились в K-теории и теории кобордизмов.
In mathematics, specifically in algebraic topology, the Eilenberg–Steenrod axioms are properties that homology theories of topological spaces have in common. The quintessential example of a homology theory satisfying the axioms is singular homology, developed by Samuel Eilenberg and Norman Steenrod. One can define a homology theory as a sequence of functors satisfying the Eilenberg–Steenrod axioms. The axiomatic approach, which was developed in 1945, allows one to prove results, such as the Mayer–Vietoris sequence, that are common to all homology theories satisfying the axioms. If one omits the dimension axiom (described below), then the remaining axioms define what is called an extraordinary homology theory. Extraordinary cohomology theories first arose in K theory and cobordism.
Последствия
Некоторые факты о гомологических группах могут быть выведены непосредственно из аксиом, например, тот факт, что гомотопно эквивалентные пространства имеют изоморфные гомологические группы. Гомологии некоторых относительно простых пространств, таких как n-сферы, можно вычислить непосредственно из аксиом. Из этого легко показать, что (n − 1)-сфера не является ретрактом n-диска. Это используется в доказательстве теоремы Брауэра о неподвижной точке.
Аксиомы измерения
Теория, "подобная гомологии", удовлетворяющая всем аксиомам Эйленберга — Стинрода, кроме аксиомы размерности, называется экстраординарной теорией гомологии (двойственно, экстраординарной теорией кохомологии). Важные примеры таких теорий были найдены в 1950-х годах, например, топологическая K-теория и теория кобордизмов, которые являются экстраординарными теориями кохомологии и имеют соответствующие двойственные теории гомологии.