Введение

Кривая в двойной проективной плоскости, образованная всеми касательными к заданной кривой.

В проективной геометрии двойственная кривая к заданной плоской кривой C – это кривая в двойной проективной плоскости, состоящая из множества прямых, касающихся C. Существует соответствие между кривой и её двойственной, отображающее каждую точку в двойственную точку её касательной прямой. Если C является алгебраической, то и её двойственная также является алгебраической, а степень двойственной кривой называется классом исходной кривой. Уравнение двойственной к C, заданное в линейных координатах, известно как тангенциальное уравнение C. Двойственность – это инволюция: двойственная к двойственной кривой C является исходной кривой C.

Построение двойственной кривой является геометрической основой преобразования Лежандра в контексте гамильтоновой механики.

Общая алгебраическая кривая

Рассмотрим параметрически заданную кривую в проективных координатах. Ее проективная касательная прямая — это линейная плоскость, определяемая точкой касания и касательным вектором, с коэффициентами линейного уравнения, задаваемыми векторным произведением: что в аффинных координатах:

Дуальное изображение точки перегиба даст острие, а две точки, имеющие общую касательную прямую, дадут точку самопересечения на дуальной кривой.

Двойной двойной

Из проективного описания можно вычислить двойственную к двойственной, которая проективно эквивалентна исходной кривой.

Свойства двойной кривой

Свойства исходной кривой соответствуют двойственным свойствам двойной кривой. На вводном изображении красная кривая имеет три сингулярности – узел в центре и две остри в правом нижнем и левом нижнем углах. Черная кривая не имеет сингулярностей, но обладает четырьмя особыми точками: две верхние точки соответствуют узлу (двойной точке), поскольку у них одна и та же касательная, и, следовательно, они отображаются в одну и ту же точку на двойной кривой, а две точки перегиба соответствуют остриям, так как касательные сначала направлены в одну сторону, а затем в другую (наклон сначала возрастает, затем убывает). Напротив, для гладкой выпуклой кривой угол касательной изменяется монотонно, и результирующая двойная кривая также гладкая и выпуклая. Более того, обе кривые обладают зеркальной симметрией: проективная двойственность сохраняет симметрии в проективном пространстве, поэтому двойные кривые имеют одинаковую группу симметрии. В данном случае обе симметрии проявляются как отражение слева направо; это следствие способа отождествления пространства и двойственного пространства – в общем случае это симметрии разных пространств.

Степень

Если X — плоская алгебраическая кривая, то степень её дуали — это число точек в пересечении с прямой в дуальной плоскости. Поскольку прямая в дуальной плоскости соответствует точке в плоскости, степень дуали равна числу касательных к X, которые можно провести через данную точку. Точки, в которых эти касательные касаются кривой, являются точками пересечения кривой и полярной кривой, построенной относительно данной точки. Если степень кривой равна d, то степень полярной кривой равна d − 1, и, следовательно, число касательных, которые можно провести через данную точку, не превышает d(d − 1). Дуалью прямой (кривой степени 1) является исключение из этого правила и рассматривается как точка в дуальном пространстве (а именно, исходная прямая). Дуалью отдельной точки считается множество прямых, проходящих через эту точку; это образует прямую в дуальном пространстве, соответствующую исходной точке. Если X гладкая (не имеет особых точек), то дуальная кривая к X имеет максимальную степень d(d − 1). Это означает, что дуалью коники также является коника. Геометрически, соответствие между коникой и её дуалью является взаимно однозначным (поскольку ни одна прямая не может быть касательной к двум точкам коники, так как это потребовало бы степени 4), и касательная прямая изменяется плавно (поскольку кривая выпуклая, а значит, наклон касательной линии меняется монотонно: наличие куспидов в дуали требует наличия точки перегиба в исходной кривой, что требует степени 3). Для кривых с особыми точками эти точки также будут лежать на пересечении кривой и её полярной кривой, что уменьшает число возможных касательных прямых. Формулы Плюккера выражают степень дуали через d, а также число и типы особых точек кривой X.

Полярный обратный

Двойственное изображение можно представить как геометрическое место точек на плоскости в виде полярно обратного. Оно определяется относительно фиксированной коники Q как геометрическое место полюсов касательных к кривой C. Коника Q почти всегда выбирается в качестве окружности, поэтому полярно обратное является обратной педали кривой C.

Двойной полигон

Конструкция двойной кривой работает даже в случае, когда кривая является кусочно-линейной или кусочно-дифференцируемой, но полученное отображение является вырожденным (если присутствуют линейные компоненты) или не определено (если есть особые точки). В случае многоугольника все точки на каждом ребре имеют одну и ту же касательную, и, следовательно, отображаются в одну и ту же вершину двойственного многоугольника, в то время как касательная в вершине не определена и может быть интерпретирована как множество всех прямых, проходящих через эту вершину, образующих угол между двумя смежными ребрами. Это согласуется как с проективной двойственностью (прямые отображаются в точки, а точки – в прямые), так и с пределом гладких кривых, не содержащих линейных компонентов: по мере того, как кривая выпрямляется в ребро, её касательные отображаются в всё более близкие точки; по мере того, как кривая заостряется в вершину, её касательные расходятся всё дальше друг от друга. В более общем случае, любой выпуклый многогранник или конус имеет полиэдральный двойственный многогранник, и любое выпуклое множество X с границей, являющейся гиперповерхностью H, имеет выпуклый сопряжённый X*, границей которого является двойственная разновидность H*.