Четвертькомма-меантон: строй и особенности настройки

Введение

Четверть запятой мейтона, или запятая мейтона, был наиболее распространенным мейтональным темпераментом в XVI и XVII веках и иногда использовался позднее. В этой системе идеальная квинта уплощается на одну четверть синтонической запятой (81:80) относительно её чистой интонации, используемой в пифагорейском строе (соотношение частот 3:2); в результате получается квинта в 696,578 центов. (Двенадцатая степень этого значения равна 125, в то время как 7 октав равны 128, что на 41,059 центов меньше.) Эта квинта затем используется для последовательного построения диатонического лада и других нот темперамента. Цель состоит в том, чтобы получить чисто интонированные большие терции (с частотным соотношением, равным сескикварте). Пьетро Арон описал это в своем трактате «Toscanello de la Musica» 1523 года, указав, что большие терции должны быть настроены так, чтобы быть «звучными и чистыми, максимально слитными». Позднее теоретики Джозеффо Дзальино и Франсиско де Салинас описали эту настройку с математической точностью.

12-тонная шкала

Вся хроматическая шкала (подмножеством которой является диатоническая шкала) может быть построена, начиная с заданной основной ноты и увеличивая или уменьшая её частоту на одну или несколько квинт. Этот метод идентичен пифагорейскому строю, за исключением размера квинты, которая темперируется, как описано выше. Однако, меантоновые строи (за исключением 12-тонового) не могут быть умещены в 12-нотной клавиатуре; и, как и четвертькомма-меантон, большинство из них требуют бесконечного количества нот (хотя существует очень близкое приближение к четвертькомме, которое может поместиться в клавиатуру с 31 клавишей). При настройке на 12-нотную клавиатуру многие ноты должны быть опущены, и если строй не "темперирован" для сглаживания отсутствующих нот, клавишники, заменяющие доступную ближайшую ноту (которая всегда неверна) на фактическую соответствующую ноту четвертькоммы (которая звучала бы консонантно, если бы она была доступна), создают диссонирующие ноты вместо консонантной четвертькоммы. Таблица ниже иллюстрирует, как получаются высоты нот относительно D (основной ноты) в D-тоновой гамме (см. Пифагорейский строй для более подробного объяснения). Для каждой ноты в базовой октаве таблица содержит общепринятое название интервала от D (основной ноты), формулу для вычисления её частотного отношения, а также приблизительные значения частотного отношения и размера в центах. Примечание Интервал от D Формула Отношение частот Размер (центов) Размер (31 ET) Ля уменьшенная квинта 1.4311 620.5 16.03 Ми малая секунда 1.0700 117.1 3.03 Си малая секста 1.6000 813.7 21.02 Фа малая терция 1.1963 310.3 8.02 До малая септима 1.7889 1006.8 26.01 Соль чистая кварта 1.3375 503.4 13.00 Ре унисон 1.0000 0.0 0.00 Ля чистая квинта 1.4953 696.6 18.00 Ми большая секунда 1.1180 193.2 4.99 Си большая секста 1.6719 889.7 22.98 Фа большая терция 1.2500 386.3 9.98 До большая септима 1.8692 1082.9 27.97 Соль увеличенная кварта 1.3975 579.5 14.97 В формулах x = 5 – размер темперированной чистой квинты, а отношения x:1 или 1:x представляют собой восходящую или нисходящую темперированную чистую квинту (т.е. увеличение или уменьшение частоты на x), в то время как 2:1 или 1:2 представляют собой восходящую или нисходящую октаву. Как и в пифагорейском строю, этот метод генерирует 13 тонов, при этом Ля и Соль почти разделены четверть тона. Для построения 12-тоновой гаммы обычно отбрасывается Ля.

The whole chromatic scale (a subset of which is the diatonic scale), can be constructed by starting from a given base note, and increasing or decreasing its frequency by one or more fifths. This method is identical to Pythagorean tuning, except for the size of the fifth, which is tempered as explained above. However, meantone temperaments (except for 12 ) cannot fit into a 12 note keyboard; and like quarter comma meantone, most require an infinite number of notes (although there is a very close approximation to quarter comma that can fit into a keyboard with 31 keys). When tuned to a 12 note keyboard many notes must be left out, and unless the tuning is "tempered" to gloss over the missing notes, keyboard players who substitute the available nearest pitch note (which is always the wrong pitch) for the actual appropriate quarter comma note (which would sound consonant, if it were available) create dissonant notes in place of the consonant quarter comma note. The construction table below illustrates how the pitches of the notes are obtained with respect to D (the base note), in a D based scale (see Pythagorean tuning for a more detailed explanation). For each note in the basic octave, the table provides the conventional name of the interval from D (the base note), the formula to compute its frequency ratio, and the approximate values for its frequency ratio and size in cents. Note Interval from D Formula Freq. ratio Size(cents) Size (31 ET) A diminished fifth 1.4311 620.5 16.03 E minor second 1.0700 117.1 3.03 B minor sixth 1.6000 813.7 21.02 F minor third 1.1963 310.3 8.02 C minor seventh 1.7889 1006.8 26.01 G perfect fourth 1.3375 503.4 13.00 D unison 1.0000 0.0 0.00 A perfect fifth 1.4953 696.6 18.00 E major second 1.1180 193.2 4.99 B major sixth 1.6719 889.7 22.98 F major third 1.2500 386.3 9.98 C major seventh 1.8692 1082.9 27.97 G augmented fourth 1.3975 579.5 14.97

In the formulas, x = = 5 is the size of the tempered perfect fifth, and the ratios x : 1 or 1 : x represent an ascending or descending tempered perfect fifth (i. e. an increase or decrease in frequency by x), while 2 : 1 or 1 : 2 represent an ascending or descending octave. As in Pythagorean tuning, this method generates 13 pitches, with A and G nearly a quarter tone apart. To build a 12 tone scale A is typically discarded.

Правильно интонированный четверть-комма мейтон

Интонационная версия четвертикомового мейттона может быть построена тем же способом, что и рациональная версия 12-тоновой равной темперации Йоханна Кирнбергера. Значение 5 · 35 очень близко к 4, поэтому 7-предельный интервал 6144:6125 (который представляет собой разницу между 5-предельным диезисом 128:125 и септимальным диезисом 49:48), равный 5,362 цента, оказывается очень близок к четверти запятой в 5,377 цента. Таким образом, отношение совершенной пятой составляет 6125:4096, что является разницей между тремя чистыми большими терциями и двумя септимальными большими секундами; четыре таких квинт превышают отношение 5:1 на крошечный интервал в 0,058 цента. Волчья квинта в данном случае, по-видимому, составляет 49:32 – разница между септимальной малой септимой и септимальной большой секундой.

Сравнение с 31-тонным равномерным темпераментом

Прекрасная квинта четверти коммы, выраженная в долях октавы, равна log2 5. Поскольку log2 5 – иррациональное число, цепочка таких квинт никогда не замыкается (то есть никогда не равна цепочке октав). Однако, продолженные дробные приближения к этому иррациональному числу позволяют нам найти равные деления октавы, которые действительно замыкаются; знаменатели этих приближений: 1, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 174, 205, 789. Из этого следует, что 31 квинта четверти коммы почти замыкаются, и, наоборот, 31-тоновый равный темперамент является хорошим приближением к четверти коммы.