Введение
В математике трансверсальность — это понятие, описывающее способы пересечения пространств. Трансверсальность можно рассматривать как «противоположность» касательности и она играет важную роль в задании общего положения. Она формализует идею обобщённого пересечения в дифференциальной топологии и определяется через линеаризации пересекающихся пространств в точках пересечения.
Определение
Два подмногообразия заданного гладкого многообразия конечной размерности называются пересекающимися трансверсально, если в каждой точке пересечения их отдельные касательные пространства в этой точке вместе порождают касательное пространство окружающего многообразия в этой точке. Многообразия, которые не пересекаются, трансверсальны по определению. Если подмногообразия имеют дополнительную размерность (то есть сумма их размерностей равна размерности окружающего пространства), то условие означает, что касательное пространство к окружающему многообразию является прямой суммой двух меньших касательных пространств. Если пересечение трансверсально, то пересечение является подмногообразием, коразмерность которого равна сумме коразмерностей двух подмногообразий. При отсутствии условия трансверсальности пересечение может не быть подмногообразием, имея некоторую сингулярную точку. В частности, это означает, что трансверсальные подмногообразия дополнительной размерности пересекаются в изолированных точках (то есть в 0-мерном многообразии). Если оба подмногообразия и окружающее многообразие ориентированы, то их пересечение ориентировано. Когда пересечение является нульмерным, ориентация представляет собой просто плюс или минус для каждой точки. Одно из обозначений для трансверсального пересечения двух подмногообразий и данного многообразия – это . Это обозначение можно понимать двумя способами: либо как « и пересекаются трансверсально», либо как альтернативное обозначение для теоретико-множественного пересечения и , когда это пересечение трансверсально. В этом обозначении определение трансверсальности выглядит следующим образом:
Трансверсальность карт
Понятие поперечности пары подмногообразий легко распространяется на поперечность подмногообразия и отображения в окружающее многообразие, или на пару отображений в окружающее многообразие, проверяя, порождают ли прообразы касательных пространств вдоль прообраза точек пересечения образов все касательное пространство окружающего многообразия. Если отображения являются вложениями, это эквивалентно поперечности подмногообразий.
Продукт пересечения
Для любых двух гладких подмногообразий можно незначительно деформировать любое из них так, чтобы полученное подмногообразие пересекалось поперечно с фиксированным подмногообразием. Такие деформации не изменяют классы гомологии подмногообразий или их пересечений. Например, если подмногообразия дополнительных размерностей пересекаются поперечно, то знаковая сумма числа их точек пересечения не изменится, даже если мы деформируем одно из подмногообразий до другого поперечного пересечения. (Точки пересечения можно считать по модулю 2, игнорируя знаки, чтобы получить более грубый инвариант.) Это приводит к двулинейному произведению пересечения по классам гомологии любой размерности, которое является двойственным Пуанкаре к попарному произведению в когомологиях. Как и попарное произведение, произведение пересечения является градуированно коммутативным.
Примеры поперечных пересечений
Самый простой нетривиальный пример поперечности — это дуги на поверхности. Точка пересечения двух дуг является поперечной тогда и только тогда, когда это не касание, то есть их касательные прямые в касательной плоскости к поверхности различны. В трехмерном пространстве поперечные кривые не пересекаются. Кривые, поперечные поверхностям, пересекаются в точках, а поверхности, поперечные друг другу, пересекаются в кривых. Кривые, касающиеся поверхности в точке (например, кривые, лежащие на поверхности), не пересекают поверхность поперечно. Вот более специализированный пример: пусть G — простая группа Ли, а g — её алгебра Ли. По теореме Якобсона — Морозова любой нильпотентный элемент можно включить в тройку sl(2, g). Теория представлений говорит нам, что пространство g/B является тангентным пространством в точке x к сопряженной орбите, и поэтому аффинное пространство g/B пересекает орбиту поперечно. Это пространство известно как «срез Слодовы» в честь Петра Слодовы.
Оптимальный контроль
В областях, использующих исчисление вариаций или связанный с ним принцип максимума Понтрягина, условие трансверсальности часто применяется для управления типом решений, получаемых в задачах оптимизации. Например, это необходимое условие для кривых решений задач вида:
Минимизировать, где одна или обе конечные точки кривой не заданы. Во многих таких задачах решение удовлетворяет условию, согласно которому кривая решения должна пересекать нулевую линию или другую кривую, описывающую граничные условия, трансверсально.
Гладкость пространств раствора
Используя теорему Сарда, гипотеза которой является частным случаем поперечности отображений, можно показать, что поперечные пересечения между подмногообразиями пространства дополнительных размерностей или между подмногообразиями и отображениями в пространство сами по себе являются гладкими подмногообразиями. Например, если гладкий сечение ориентированного многообразия касательного расслоения – то есть векторное поле – рассматривается как отображение от основания в полное пространство и пересекает нулевое сечение (рассматриваемое либо как отображение, либо как подмногообразие) поперечно, то нулевое множество сечения – то есть сингулярности векторного поля – образует гладкое 0-мерное подмногообразие основания, то есть множество точек с присвоенными знаками. Эти знаки согласуются с индексами векторного поля, и, следовательно, сумма этих знаков – то есть фундаментальный класс нулевого множества – равна эйлеровой характеристике многообразия. В более общем случае, для векторного расслоения над ориентированным гладким замкнутым конечномерным многообразием, нулевое множество сечения, поперечного нулевому сечению, будет подмногообразием основания коразмерности, равной рангу векторного расслоения, а его класс гомологии будет пуанкаре-двойственным классу Эйлера расслоения. Крайне частным случаем этого является следующее: если дифференцируемая функция от действительных чисел к действительным числам имеет ненулевую производную в нуле функции, то этот нуль является простым, то есть график функции поперечен оси x в этой точке; нулевая производная означала бы горизонтальную касательную к кривой, которая совпадала бы с касательным пространством к оси x. В качестве примера для бесконечномерного случая, оператор d-bar является сечением определенного расслоения пространства Банаха над пространством отображений с римановой поверхности в почти комплексное многообразие. Нулевое множество этого сечения состоит из голоморфных отображений. Если удастся показать, что оператор d-bar поперечен нулевому сечению, то это пространство модулей будет гладким многообразием. Эти соображения играют фундаментальную роль в теории псевдоголоморфных кривых и теории Громова — Виттена. (Обратите внимание, что для этого примера определение поперечности необходимо уточнить для работы с пространствами Банаха!)
Грамматика
"Трансверсаль" — это существительное, а прилагательное — "трансверсный". цитата из Дж. Х. К. Уайтхеда, 1959.